Loi des grands nombres et TCL

Bonjour,
On me cite quelque vois ce post :
https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/loi-des-grands-nombres-tcl-illustration-t207521.html

L'auteur, Sylviel a demandé qu'on lui dise s'il y avait des choses à préciser. N'ayant pas accès au forum concerné, je n'ai pas pu intervenir, je le fais maintenant.
"On va considérer une variable aléatoire à valeurs réelles ."
Tous les documents sont d'accord pour préciser qu'une variable aléatoire est une application, c'est à dire, une fonction.
La comparaison avec la boite est très claire, on a une seule boite, et chaque fois qu'on l'ouvre, on en sort une valeur différente. Ces différentes valeurs sont appelée (voir Wikipédia) des variations aléatoires d'une même variable aléatoire.
Deux lignes plus loin, on peut lire :
"Mathématiquement cela signifie que l'on considère une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (noté va iid). "
Ben, on a un variable aléatoire, ou une suite de variables aléatoires ?
Qui peut comprendre ?

A partir de là, pour moi, c'est incompréhensible. On utilise le même terme (variable aléatoire) pour une fonction et les valeurs qu'elle renvoie, à la demande.

Ce point peut apparaitre comme un détail, sauf que dans la théorie des probabilités, la notion de "série de variables aléatoires indépendantes" a un sens très précis. Il est donc indispensable que la notion de variable aléatoire qui produit une série (ou suite non ordonnée) de variations aléatoire doit être parfaitement claire pour les lecteurs.

La définition de base étant contradictoire, l'utilisation de ces notions sera particulièrement difficile à comprendre et conduiront à des résultats inexploitables.

Sylviel m'a recommandé de regarder l'exemple avec les dés

Un échantillon est un vecteur aléatoire, et non une suite de nombre. Pour visualiser cela. Considérons que X est le résultat d'un tirage de dé. Alors un échantillon de taille 3 consiste à lancer 3 dés. Il y a donc 6x6x6=216 réalisations possible de l'échantillon : (1,1,1),(1,1,2)...(6,6,6).

Désolé, mais je ne sais pas ce qu'est un vecteur aléatoire.
Un échantillon est un ensemble limité, généralement aléatoire, d'un ensemble existant.
Par exemple, pour la population d'une ville, 100 individus constituent un échantillon.
X est le résultat d'un tirage de dé. C'est à dire qu'on va obtenir la face A, ou la face B ... ou la face F.
Il y a effectivement 216 possibilité pour 3 dés. Ca, c'est du calcul d'analyse combinatoire. Il n'y a pas de variable aléatoire, juste un comptage de nombre de possibilités différentes.
Voila un exemple d'échantillon intéressant que l'on pourrait donner : on pêche avec un filet ou une nasse. La dimension des mailles définit assez bien les bornes inférieures et supérieures de l'expérience. On relève le filet : on a un échantillon de N poissons. La variable aléatoire pourrait être la taille des poissons, ou leur poids, ou leur espèce ou je ne sais quoi d'autre.
Si on veut vérifier les lois des probabilités avec les 3 dés, alors ils est intéressant de savoir qu'il y a 216 possibilités, cela permet de prévoir 216 lignes sur un papier, tirer un très grand nombre de fois les 3 dés et comptabiliser les résultats. Là on peut appeler "échantillon" les 216 scores observés.
L'opération qui consiste à lancer 3 dés est généralement appelée "épreuve". Cette épreuve produit un résultat unique qui, isolé, n'apporte aucune information. On appelle généralement "expérience" la réalisation d'un certain nombre d'épreuves.

Bonjour,

Sylviel a écrit:Ce que tu appelles l\'expérience c\'est la réalisation d\'un n-échantillon, où \"n\" est ton \"certain nombre.
Ici on a l\'illustration sur un 3-échantillon. Bien sûr pour faire des stats on préfère avoir un 1000-échantillon, mais c\'est plus fastidieux à visualiser.

C'est là où Unknown se contredit.
Il parle d'abord d'un vecteur aléatoire en prenant comme exemple le lancé de 3 dés et non de 3 lancés de dé.
Puis il parle d'un n-échantillon où n vaudrait 1000. On ne comprend pas si l'échantillon est la suite de n lancés aléatoires et successif avec un seul dé ou le lancé de 1000 dés. Bien-sûr on peut se dire qu'il n'y a grande différence, sauf pour la compréhension.
Quand on fait des statistiques, par exemple les sondages, on s'occupe de comptage.
D'ailleurs, au niveau actuel de la lecture du document de Sylviel, on n'en est pas à parler de statistique, on n'en est qu'on niveau "analyse combinatoire" avec une définition contradictoire de variable aléatoire.

Et la suite :

C\'est important de comprendre qu\'un n-échantillon est une variable aléatoire, et donc que la moyenne empirique est une variable aléatoire sinon les énoncés de la LGN et du TCL n\'ont pas de sens.
Si Mn est un nombre, et pas une variable aléatoire, comme E[X] est un nombre, pourquoi dis ton que Mn tends vers E[X] PRESQUE SUREMENT ? Que vient faire ce \"presque sûrement\" dans l\'énoncé si rien n\'est aléatoire ?
Si Mn est un nombre, et pas une variable aléatoire, comment \\sqrt{n] (Mn -E[X]) peut il converger vers une variable aléatoire ? \\sqrt{n} est déterministie, E[X] est déterministe, donc qu\'est-ce qui est aléatoire ?

--> Un échantillon est une variable aléatoire, donc une fonction
--> La moyenne empirique est une variable aléatoire, donc une fonction
--> La moyenne empirique n'est donc pas un nombre.
Pour moi, ce type de notion devrait être tout à fait concret, devrait pouvoir être commenté par des exemples. Bien-sûr, là c'est impossible, aucun résultat n'est passible, le résultat d'une opération arithmétique n'est pas un nombre, mais une fonction, elle-même non définie, mais qui converge vers une fonction, elle-même non définie etc.

On retrouve cette non-distinction entre "fonction" et "valeur renvoyée" dans la suite du message. Cela rend les choses incompréhensibles et empêche tout raisonnement basé sur les probabilités.

Bon, il semble que la notion d'échantillon est claire pour tout le monde. Un échantillon est un ensemble limité issu d'un ensemble quelconque.
Voyons le paragraphe suivant : "Moyenne empirique".
La moyenne "empirique" est la moyenne arithmétique. Apparemment le qualificatif "empirique" lui permet de passer du type "nombre" au type "fonction". Comprenne qui pourra.
Il est dommage que l'exemple utilisé soit justement le nombre de taches apparaissant sur chaque face du dé, alors qu'il s'agit de label, c'est à dire de façon de les distinguer et non de nombres. Il y a bien d'autres exemples à disposition des enseignants.
Il y a une question importante qui est tout à fait ignorée : pourquoi on a adopté la moyenne arithmétique et pas une autre valeur comme valeur définitive ?
Il me parait important de préciser que la raison pour laquelle on prend plusieurs mesures d'une même chose est qu'une mesure comporte presque toujours une imprécision. On a donc N mesures, laquelle doit-on adopter ? Ce cas se présente très souvent et pratiquement toujours de façon transparente de l'utilisateur. Il est de la responsabilité des enseignants de l'expliquer aux étudiants. J'aime bien donner un exemple dans le cadre des techniques modernes, en l'occurrence : les GPS. Pour obtenir une position, un GPS fait quelques centaines de mesures. C'est la moyenne arithmétique qui est adoptée. Cela résulte du "postulat de la moyenne".

Loi des grands nombres.
Je me contenterai de la fin du paragraphe : "La fréquence d'u évènement A tend vers sa probabilité lorsque le nombre des épreuves devient très grand."

Théorème central limite.
Là, naturellement, c'est le plus important du sujet concerné. Il est donc indispensable de le comprendre pour pouvoir l'utiliser.
D'abord il faut parler d'un terme nouveau : l'espérance. L'espérance mathématique est définie comme de produit du gain par la probabilité. Par extension lorsqu'on parle de l'espérance, il faut généralement comprendre "valeur vraie mais généralement inconnue de la variable étudiée".

Voila l'exemple typique de mélange ou d'amalgame de notions différentes en utilisant la même expression "variable aléatoire" :

Sylviel a écrit:Reformulation en langage non mathématique pour comprendre :
- si je somme un grand nombre de variables aléatoires indépendantes alors la somme ressemble à une loi normale
- si je moyenne un grand nombre de variables aléatoires indépendantes alors la moyenne ressemble à une loi normale

Lorsque l'on somme des fonctions (addition) ou obtient une fonction. Exemple, dans le tir sur cible, ou l'envoi d'une balle, la fonction décrivant sa trajectoire est la somme de différentes fonctions, par exemple, la puissance de l'arme ou du joueur, son habileté à viser, la stabilité au moment du tir, la présence de vent durant le trajet etc. Le terme "somme" est à prendre dans le sens "ensemble", même si dans la pratique on utilise le signe '+', dans oublier des coefficients pour chaque fonction élémentaire.
Lorsque l'on "moyenne" des valeurs, alors on obtient une valeur. Cette valeur ne peut pas ressembler à une loi, c'est une valeur.

Nouvelle réaction de Unknown :

Unknown a écrit:\"Il me parait important de préciser que la raison pour laquelle on prend plusieurs mesures d\'une même chose est qu\'une mesure comporte presque toujours une imprécision. \"
Il te parait peut être important de le préciser, mais cela n\'a pas grand chose a voir avec le sujet en question. En effet la mesure et les erreurs de mesures n\'est qu\'un cadre très particulier. Et même si c\'est le seul que tu connais, ce n\'est pas, et de très loin, la seule utilisation des probas.

Tiens, c'est bizarre, il me semble bien que l'étude des probabilités font partie de la "Théorie de la mesure".
J'ai très souvent demandé un exemple d'utilisation ds probabilités selon l'axiomatique de Kolmogorov. Pas de souvenir d'en avoir eu.
Et, là tu me dis que les probas ont d'autres utilisations que dans le cadre de mesures, merci de m'en donner un exemple.