Une illustration de la loi des grands nombres

Bonne fin d'après-midi,

On se place dans le cadre des marches aléatoires symétriques dans Z.

Il est très facile de voir que la probabilité pour un intervalle entre deux retours à 0 d'être de longueur 2 est égale à 1/2. Autrement dit, si la marche aléatoire est à 0 à l'instant t, la probabilité qu'elle soit à 0 à l'instant t+2 est 1/2.

Par ailleurs, les longueurs des intervalles entre deux retours à zéro sont des variables aléatoires indépendantes. (Rappelons que l'espérance de ces variables aléatoires est infinie.)

La loi forte des grands nombres nous dit que, presque sûrement, la fréquence des intervalles de longueur 2 entre deux retours à 0 tend vers 1/2 quand le nombre de retours à 0 rend vers l'infini.

Illustrons ce résultat par une petite simulation dont voici le code (en python 3):

Code:

def ret2(k) : # k est la puissance de 10 jusqu'à laquelle
              # on va
    print("fréquence des intervalles de longueur 2")
    print("entre deux retours à 0 successifs")
    r2=0 # comptabilise le nombre d'intervalles de longueur 2
         # entre deux retours à 0 successifs
    r=0  # comptabilise les retours à 0
    S=0  # valeur de la marche aléatoire
    der=0 # temps du dernier retour à 0
    for m in range(k) :
        for n in range(10**m,10**(m+1)):
            S+= 2*rd.randrange(2)-1
            if S==0 :
                r+=1
                if n==der+2 : r2+=1
                der=n
        if r == 0 :
            print("jusqu'à", 10**(m+1),"tirages : pas de retour")
        else :
            freq=round(100*r2/r,2)
            print("jusqu'à", 10**(m+1),"tirages :", freq,"%" )
    print("nombre total de retours à 0 :",r)

Allons jusqu'à cent millions de tirages avec la commande

Code:

ret2(8)

On fait 3 essais.

fréquence des intervalles de longueur 2
entre deux retours à 0 successifs
jusqu'à 10 tirages : pas de retour
jusqu'à 100 tirages : 33.33 %
jusqu'à 1000 tirages : 54.55 %
jusqu'à 10000 tirages : 54.55 %
jusqu'à 100000 tirages : 47.91 %
jusqu'à 1000000 tirages : 48.34 %
jusqu'à 10000000 tirages : 48.56 %
jusqu'à 100000000 tirages : 48.56 %
nombre total de retours à 0 : 1839

fréquence des intervalles de longueur 2
entre deux retours à 0 successifs
jusqu'à 10 tirages : 50.0 %
jusqu'à 100 tirages : 60.0 %
jusqu'à 1000 tirages : 54.55 %
jusqu'à 10000 tirages : 54.55 %
jusqu'à 100000 tirages : 49.35 %
jusqu'à 1000000 tirages : 49.76 %
jusqu'à 10000000 tirages : 50.02 %
jusqu'à 100000000 tirages : 50.88 %
nombre total de retours à 0 : 5277

fréquence des intervalles de longueur 2
entre deux retours à 0 successifs
jusqu'à 10 tirages : pas de retour
jusqu'à 100 tirages : 61.54 %
jusqu'à 1000 tirages : 58.33 %
jusqu'à 10000 tirages : 52.48 %
jusqu'à 100000 tirages : 50.13 %
jusqu'à 1000000 tirages : 49.71 %
jusqu'à 10000000 tirages : 49.72 %
jusqu'à 100000000 tirages : 49.86 %
nombre total de retours à 0 : 18092

On constate :
1°) que la fréquence a bien l'air de converger vers 50% quand on augmente le nombre de tirages, et donc de retours à 0
2°) que le nombre de retours à 0 en cent millions de tirages varie énormément.
3°) que, comme il est normal, plus le nombre de retours à zéro est important, plus proche on est de 50% au bout des cent millions de tirages.

Bonsoir Gbzm,

Ô roi du hors-sujet qui ne peut donc avoir de sujets dignes de lui !

Plus sérieusement, tu redécouvres la loi des grands nombres ? Effectivement, bravo, quand un événement est de probabilité 1/2, sa fréquence tend vers 50% avec le nombre d'essais...

Maintenant, essaie autrement, en te priant d'excuser cet en-plein-dans-le-sujet : intéresse-toi par exemple au 1er intervalle entre deux équilibres successifs à n fixé, par exemple n = 1000. Puis calcule la fréquence des intervalles de longueur 2.

Recommence mais prends des n de plus en plus grands...

Idem pour le second intervalle d'équilibre, le 3ème, etc. Tu verras un phénomène très intéressant.

Enfin, calcule aussi la fréquence d'un intervalle d'ordre racine de n : idem, pour des n de plus en plus grands.

Bonne soirée.

N.b. tant qu'on y est, je te recommande pour finir en beauté de calculer directement la moyenne empirique du premier intervalle entre deux équilibres successifs pour un certain n. Puis fais tendre n vers l'infini.

Idem pour le second intervalle entre deux équilibres successifs, le troisième,...n'importe quel intervalle d'indice i FIXÉ. Vois ce qui se passe quand n tend vers l'infini.

Tu verras alors la vraie proportion de tes intervalles de longueur 2 ou de n'importe quel autre longueur finie quand n ---> Infini.

Le fait d'avoir compté tous les intervalles de longueur 2 disséminés sur n, puis calculé leur fréquence logiquement ~ 50% est totalement HORS-SUJET. Encore une fois, tu dois te fixer un i-ème intervalle entre deux équilibres successifs et ensuite calculer les fréquences.

C'est la seule manière de comprendre le calcul d'espérance de gain de nos joueurs entre deux zéros successifs sur un intervalle d'indice i fixé.

Ltav, c'est marrant cette manie d'appeler "hors-sujet" tout résultat qui montre que tu racontes n'importe quoi..

La probabilité qu'un intervalle entre deux équilibres soit de longueur p ? Facile, c'est la probabilité que R_1 (le temps du premier retour) soit égal à p. Tu sais combien ça vaut.


Il fut un temps où tu faisais sans problème un changement d'origine.

Ltav a écrit:Et pour le R_i-ème dépassement (en changeant simplement l'origine par R_i) :

P(S_{R_i + k} = r | S_{R_i  + 1}*S_{R_i + 2}*...*S_{R_i + k-1} .neq. 0) = r/k*C(k+r/2, k)*1/2^k

C'était du temps où ton discours avait encore un semblant de cohérence. Mais de l'eau a coulé sous les ponts, tu n'es plus d'accord avec toi-même et maintenant ton discours est complètement délirant.

Mon discours est parfaitement cohérent et je dois avancer à ton rythme de "tortue". En effet, comme je l'expliquais, prends un i fixé pour pouvoir calculer les espérances conditionnelles.

Tu as peur de calculer les longueurs moyennes des intervalles d'indice i comme je te l'ai décrit ? Que t'attends-tu à trouver ?

Reviens à moi avec quelque chose de consistant. Si tu ne fais que réfléchir tout haut pour mieux comprendre toutes ces "subtilités", vas-y mais ne me sollicite que si nécessaire. Merci.

Bonne soirée.

Ltav a écrit:Tu as peur de calculer les longueurs moyennes des intervalles d'indice i comme je te l'ai décrit ? Que t'attends-tu à trouver ?

Essayons de donner un sens à ta question. Tu veux parler de l'espérance de R_i - R_{i-1}, c'est ça ?
Tu as oublié que l'espérance de R_i-R_{i-1}, comme l'espérance de R_1, est infinie ?

Ltav, tu ne sais plus quoi inventer.

Bonsoir Gbzm, pardon de te le dire mais réfléchis un peu tout seul - le contraire est même indigne de toi et assez décevant (le mot est lâché).

O.K, donc l'espérance du temps de premier retour à l'origine R_1 est infinie, comme l'espérance de R_i - R_{i-1}. Et l'espérance de R_1 pour tous les premiers retours à l'équilibre avant n pair, autrement dit E(R_1 | R_1 <= n) (une espérance conditionnelle, soit dit en passant...) ?

Car c'est bien là le cadre de notre problématique d'espérance conditionnelle, i.e. les équilibres avant n (les autres équilibres, on les met de côté). Bon, je te laisse répondre mais je t'écris les grandes lignes du calcul complet en mode spoiler.

Espérance du temps de premier retour à l'origine avant n pair:

Bonne nuit.

Bonjour Ltav,

Je n'ai aucun problème avec ton calcul de E(R_1 | R_1 <= n).
Maintenant, je voudrais que tu m'expliques en quoi  ce résultat est contradictoire avec

Presque sûrement, la fréquence des intervalles de longueur 2 entre deux passages à 0 jusqu'à n tend vers 1/2 quand n tend vers l'infini.

Ltav a écrit:Tu verras alors la vraie proportion de tes intervalles de longueur 2 ou de n'importe quel autre longueur finie quand n ---> Infini.

Peux-tu me dire clairement ce que tu conjectures ?
Vas-y, assume !

Bonjour Gbzm,

"Je n'ai aucun problème avec ton calcul de E(R_1 | R_1 <= n).

Maintenant, je voudrais que tu m'expliques en quoi ce résultat est contradictoire avec

Presque sûrement, la fréquence des intervalles de longueur 2 entre deux passages à 0 jusqu'à n tend vers 1/2 quand n tend vers l'infini."

Merci de ton message. Mais il n'y a strictement rien de contradictoire entre ces deux résultats. Si tu fixes un intervalle d'indice i fixé, la moyenne de sa longueur tend vers l'infini, et si tu ne te fixes pas sur un indice, tu trouveras des intervalles de longueur 2 à une fréquence de 50% en parcourant l'axe des temps pour n assez grand.

Seulement c'est le premier résultat qui nous intéresse car il permet de voir ce qui se passe sur un intervalle d'équilibres successifs d'ordre précis pour n tendant vers l'infini : puisque sa longueur moyenne devient infinie, le nombre de dépassements de r sur cet intervalle devrait se stabiliser autour de 2r, d'où en moyenne un intervalle de dépassement et un gain de r pour le joueur B entre deux équilibres successifs pour n assez grand.

Ltav a écrit:Si tu fixes un intervalle d'indice i fixé, la moyenne de sa longueur tend vers l'infini

Désolé, mais ton discours est très très flou, et tu sais bien : quand c'est flou, il y a un loup.

Traduisons en clair. R_i est le temps du i-ème retour à zéro. Rappelons encore une fois que c'est une variable aléatoire presque sûrement  définie sur l'univers des marches aléatoires symétriques dans Z.
Ça va ce que je viens d'écrire est clair.?

Le i-ème intervalle entre deux passages successifs à 0 est l'intervalle entre le temps R_{i-1} et R_i. Je fixe i, comme tu le demandes.

Tu dis, en clair, l'espérance de R_i-R_{i-1} tend vers l'infini. En fait non, l'espérance de R_i-R_{i-1} est infinie, R_i-R_{i-1} a même loi que R_1 (faire un changement d'origine de la marche aléatoire).

Ça n'empêche, la probabilité que R_i-R_{i-1} =2, c'est la même que la probabilité que R_1=2, c'est 1/2.

Alors, si tu veux dire autre chose que "Si tu fixes un intervalle d'indice i fixé, la moyenne de sa longueur tend vers l'infini", dis le précisément. Là ton discours baigne dans un épais brouillard.

Réfléchis bien et donne une réponse claire.

Alors OK, je précise (en fait je re-précise mais bon je vais être encore plus précis).

L'espérance de R_i, pour chaque i, est infinie. De même que l'espérance de R_i+1 - R_i. Aucun souci là-dessus.

C'est l'espérance conditionnelle, pour chaque i, de R_i sachant que R_i <= n qui est de l'ordre de racine{n} pour n fini et tend vers l'infini avec n ---> infini.

De même, pour l'espérance conditionnelle de (R_i+1 - R_i) sachant que R_1 <= n, R_2 <= n,... R_i+1 <= n : de l'ordre de racine {n} pour n fini et tend vers l'infini avec n.

Ltav a écrit:
De même, pour l'espérance conditionnelle de (R_i+1 - R_i) sachant que R_1 <= n, R_2 <= n,... R_i+1 <= n : de l'ordre de racine {n} pour n fini et tend vers l'infini avec n.

Oui, et alors ? Est-ce que ça empêche la probabilité de R_{i+1}-R_i = 2 sachant R_{i+1} <= n d'être supérieure ou égale à 1/2 et de tendre vers 1/2 quand n tend vers l'infini. ?

Gbzm : je sais que ça t'étonne énormément quelque part, mais l'un n'empêche absolument pas l'autre : une espérance conditionnelle de longueur d'intervalle d'ordre i entre deux équilibres successifs, tendant vers l'infini avec n MALGRÉ une probabilité de 1/2 d'avoir cette longueur égale à 2.

Ne te fie pas à la probabilité mais à l'espérance. Ce sont les moyennes qui nous intéressent pour le calcul des espérances conditionnelles de gains.

Je vais te proposer tout à l'heure un nouveau calcul de E(B | E_m) pour la première stratégie de B : elle regroupe l'ensemble de ces réflexions et a au moins le mérite d'être claire et très courte.

Je vais utiliser le fameux théorème de Kolmogorov : E(E(X | Y)) = E(X) pour deux variables aléatoires X et Y. Tu peux le voir ou revoir en attendant.

Bonne soirée.

Bonsoir,

Voici l'idée de l'autre démonstration dont j'ai parlé ci-dessus. Nous voulons montrer que dans le cadre de la première stratégie de B (premier post de ce fil), l'espérance de gain E1 de B, pour n et r assez grands, m > 1, vérifie :

E1(B | E_m) ~ (n + m*r)/2

E1(B) ~ (n + rac{n}*r)/2

D'après l'étude de la seconde stratégie du joueur B (où il joue comme dans la première mais se met à jouer au hasard dès qu'il atteint un certain nombre m > 1 fixé d'intervalles de dépassements de r entre deux équilibres successifs, nous savons que :

E2(B | E_m) = (n + m*r)/2

E2(A | E_m) = n/2

où E_m est l'événement : "atteindre un entier m > 1 de premiers dépassements (ou d'intervalles de dépassements) de r entre deux équilibres successifs".

La première et la seconde stratégie du joueur B étant parfaitement identiques sur tous les intervalles entre deux équilibres, sauf le dernier jusqu'à n, nous pouvons reprendre la 1ère formule afin d'exprimer le gain de B pour la première stratégie pour un certain nombre d'intervalles de dépassement de r, en lui retranchant le malus éventuel du dernier intervalle entre le dernier équilibre jusqu'à n.

Soit :

E1(B | (N, W)) = (n + N*r)/2 - W

E1(A | (N, W)) = n/2

N et W sont des variables aléatoires positives représentant respectivement : le nombre d'intervalles de dépassements de r jusqu'à n et le malus du dernier intervalle sans équilibre.

Dans la suite, nous confondrons les lettres désignant les joueurs A et B avec les variables aléatoires de leurs gains respectifs. Les espérances conditionnelles de A et B obtenues sont conditionnées sur le couple de variables aléatoires indépendantes (N, W).

Les espérances conditionnelles étant des variables aléatoires, nous avons utilisé le théorème de Kolmogorov ou de l'espérance totale, selon lequel :

Pour toutes variables aléatoires discrètes X et Y définies sur le même espace de probabilités, telles que E(X) finie, on a : E(E(X | Y)) = E(X)

Ce théorème est aisément généralisable à une espérance conditionnée sur un couple de variables aléatoires (Y, Z).

Soit : E[E(X | (Y, Z))] = E(X).

Voir par exemple diapo 22 et suivantes in : https://www.math.u-bordeaux.fr/~jbigot/Site/Enseignement_files/Amphi3_MA105.pdf

On peut aussi prendre l'espérance conditionnelle d'une espérance conditionnelle sur deux variables pour obtenir une espérance conditionnelle sur une seule variable (bien penser les espérances conditionnelles en termes d'intégrations à plusieurs variables sur l'espace de probabilités) :

E[E(X | (Y, Z)) | Z] = E(X | Z).

Prenons donc l'espérance conditionnelle des équations ci-dessus :

E1(B | N) = E1[E1(B | (N, W)) | N] = (n + N*r)/2 - E1(W) = (n + N*r - 2E1(W))/2

E1(A | N) = E1[E1(A | (N, W)) | N] = n/2

Or, nous avons déjà montré (in "rattrapages de pile ou face") que pour n assez grand (E_0(n) étant l'espérance du nombre d'équilibres avant n) :

E1(N) ~ E1(W) ~ E_0(n) ~ rac{n}

D'où, pour N, r et n assez grands :

E1(B | N) ~ (n + N*r)/2

E1(A | N) = n/2

Pour N = m, on retrouve notre résultat conditionné sur l'événement E_m :

E1(B | E_m) ~ (n + m*r)/2

E1(A | E_m) = n/2

Le bonus du joueur avisé B finit comme prévu par dépasser le malus éventuel du dernier intervalle sans équilibre.

Mais il y a plus. Reprenons nos équations ci-dessus :

E1(B | (N, W)) = (n + N*r)/2 - W

E1(A | (N, W)) = n/2

Passons à l'espérance totale :

E1[E1(B | (N, W))] = (n + E1(N)*r)/2 - E1(W) = (n + E1(N)*r - 2E1(W))/2

E1[E1(A | (N, W))] = n/2

D'après le théorème de Kolmogorov :

E1(B) = E1[E1(B | (N, W))]

E1(A) = E1[E1(A | (N, W))]

D'où :

E1(B) = (n + E1(N)*r - 2E1(W))/2

E1(A) = n/2

Ainsi, pour n et r suffisamment grands, toujours d'après E1(N) ~ E1(W) ~ E_0(n) ~ rac{n} :

E1(N)*r - 2E1(W) > 0

i.e. le bonus du joueur avisé B dépasse encore le malus éventuel du dernier intervalle sans équilibre.

De plus, en passant à la limite pour n et r :

E1(B) ~ (n + rac{n}*r)/2

E1(A) = n/2

Enfin, on (re)trouve que pour n et r assez grands, dans la première stratégie de B, comme pour la seconde :

E1(B) > E1(A)

J'ai assez tardé, on verra les détails plus tard.

Bonne nuit.

Bonsoir,

J'ai enrichi et détaillé ma démonstration ci-dessus.

Bonne soirée.

Bonjour Ltav,

Tu as essayé de dissimuler l'erreur qui fiche tout ton "raisonnement" par terre, mais elle est bien là :

Ltav a écrit:Or, nous avons déjà montré (in "rattrapages de pile ou face") que pour n assez grand (E_0(n) étant l'espérance du nombre d'équilibres avant n) :

E1(N) ~ E1(W) ~ E_0(n) ~ rac{n}

Tu affirmes que l'espérance du nombre d'intervalles de rattrapage de r jusqu'à n est équivalent à E_0(n), le nombre de retours à 0 jusqu'à n. Tu rabâches ça alors que c'est faux. De mon côté, je rabâche ce qui est vrai : L'espérance du nombre d'intervalles de rattrapage de r jusqu'à n est équivalent à (1/r) * E_0(n) quand n tend vers l'infini. La démonstration est particulièrement élémentaire dans le cas r=2. Elle est ici :

https://dlz9.forumactif.com/t456p75-rattrapages-de-pile-ou-face#5045

Bonjour,

Raté, ton raisonnement a été définitivement réfuté ici : https://dlz9.forumactif.com/t456p100-rattrapages-de-pile-ou-face#5107

Là je n'ai pas le temps.
@+

Bonne journée.

Je conseille effectivement d'aller voir le fil mis en lien pour réaliser que ta "réfutation" n'est qu'une idiotie répétée en boucle.

Bonsoir,

Désolé, j'ai répété "l'idiotie" à laquelle tu es incapable de répondre - autrement qu'en faisant mine de ne pas la voir :

https://dlz9.forumactif.com/t456p100-rattrapages-de-pile-ou-face#5136

Une "idiotie en boucle"...c'est comme faire "l'autruche" se plantant la tête dans le sable pour ne pas regarder le danger en face ?

Hehehe, allez bonne nuit.

Tu as parfaitement raison, Ltav, il faut absolument aller voir le fil
https://dlz9.forumactif.com/t456p100-rattrapages-de-pile-ou-face#5140

Bonjour, je t'ai préparé au-dessus une nouvelle démonstration complète et exquise de la fausseté de ton problème de dernier intervalle sans équilibre.

Tu n'as même pas touché au plat. Et tu ne t'excuses que par le fait d'avoir trop mangé de hors-d'œuvres...ou de hors-sujets.

A plus.

Ta "démonstration complète et exquise" souffre toujours de la même erreur.
Tu n'as absolument pas réfuté que
(Nombre d'intervalles de dépassement de 2 avant n) / (nombre de retours à 0 avant n) --> 1/2 quand n--> infini (presque sûrement).

Où est cette "erreur" dont tu parles dans ma démonstration ? Ligne, paragraphe, citation, s'il te plaît.

Mon "erreur" serait de ne pas avoir réfuté quelque chose ? Je ne connaissais pas ce genre d'erreurs démonstrationnelles...Qu'est-ce que cela veut dire ?

Par ailleurs, je réfléchis sur ton :

"Tu n'as absolument pas réfuté que
(Nombre d'intervalles de dépassement de 2 avant n) / (nombre de retours à 0 avant n) --> 1/2 quand n--> infini (presque sûrement)."

Pourquoi ne comptes-tu que les intervalles d'équilibres de longueur 2 ?

Mes résultats d'équivalence à n ---> infini entre le nombre moyen d'intervalles de dépassement et le nombre moyen d'intervalles entre deux équilibres successifs s'appliquent à des intervalles d'équilibres de LONGUEUR QUELCONQUE...

Tu ne comptes même pas - de très loin - ce qu'il faut compter. Comment veux-tu réfuter mes résultats alors qu'on ne compte pas la même chose ?

Visiblement, tu n'as pas compris que la marche aléatoire passe par 2 ou -2 entre R_{i-1} et R_i si te seulement si R_i - R_{i-1} > 2.

Autrement dit, les intervalles entre deux passages par 0 de longueur 2 sont exactement ceux qui ne contiennent pas d'intervalle de dépassement de 2.

Faut-il que je te donne la démonstration, ou peux-tu la trouver tout seul ?

Bonne nuit.