Maximum de deux variables aléatoires.

Bonsoir,
Réf. : https://www.ilemaths.net/sujet-max-876793.html
J'avoue que j'ai du mal à comprendre la question et a fortiori la réponse.
Soient des deux variables aléatoires X et Y gaussiennes centrées réduites indépendantes.
Ces deux variables aléatoires qui sont des fonctions (tous les cours) sont égales. Qu'est-ce qui peut être maximum ?
Bref, je ne comprends rien. Est-ce de l'abstraction dans un contexte que je connais pas, est-ce une utilisation de la théorie des probabilités par l'axiomatique enseignée. J'aimerais bien comprendre.
Merci de m'éclairer.

Bonsoir

Soient des deux variables aléatoires X et Y gaussiennes centrées réduites indépendantes.
Ces deux variables aléatoires qui sont des fonctions (tous les cours) sont égales.

tu dis que les deux variables aléatoires sont indépendantes et égales en même temps... C'est carrément absurde !
Est-ce une utilisation de ta théorie perso et non enseignée ?  Moi, je me demande quel sens personnel tu mets à ces mots que tu emploies.

Bonjour Chris,
Si j'ai écrit ces mots c'est que je ne comprends pas. Bien-sûr ce que je dis est absurde, je le sais bien, alors ta réponse n'est pas vraiment constructive. Bon, je vais détailler.

Définition de "variable aléatoire" ? C'est ce qu'on lit dans tous les cours, une application, c'est à dire une fonction qui revoit, si on lui demande, à chaque fois une valeur numérique. Autre hypothèse : il s'agit d'une valeur numérique renvoyée par une fonction. On devrait employer le terme "variation aléatoire". C'est l'un des deux mais pas les deux en même temps.

Fonction de Gauss. Il n'en existe qu'une et une seule, lorsqu'elle est centrée et réduite. Si c'est pas vrai, alors il faudrait lui donner un autre nom.
Qu'est-ce qui est indépendant et identiquement distribué ? les fonctions, ça n'a pas de sens, si c'est les variations, alors la question est mal posée.

Bref, je ne comprends pas et toi qui répètes que tu sais ce dont il s'agit, je te demande poliment de m'expliquer.

Dlzlogic a écrit:Si j'ai écrit ces mots c'est que je ne comprends pas.

pourtant ces mots, tu les emploies depuis des années, de manière très affirmée. Alors que penser ?

En effet, le vocabulaire mathématique de manière général, et en particulier en probabilité, est particulièrement précis.
Les mathématiques, c'est une science pyramidale : il est illusoire de vouloir comprendre le haut d'une tour si on n'a pas compris les étages inférieurs.

je te demande poliment de m'expliquer.

oui, je le vois bien, mais je sais aussi ce qu'il se passe quand on essaie de t'expliquer la moindre notion de proba ! Moi aussi, j'ai un peu de mémoire.

Seule conclusion possible à ton message : t'en as aucune idée, t'es incapable de répondre, mais tu essayes de donner le change.
D'ailleurs, j'ai bien pris soin dans mon message précédent de mettre plusieurs hypothèses. Donc, tu n'avais même pas à expliquer, juste à répondre par oui ou par non.

On connait ta chanson, sur le fond et la forme.  

Tu ne sais pas faire, donc personne ne sait faire.
L'exercice de l'autre forum est un exo de base, sans difficulté, surtout après les explications de GBZM. L'espérance du maximum de X et Y est 1/sqrt( Pi )

Merci d'avoir confirmé, on voit ce qu'il se passe... et tu continueras avec tes propos soit déplacés , soit mathématiquement faux, parce que tu ne connais pas la définition mathématiques des mots que tu emploies.  exemple :

Soient des deux variables aléatoires X et Y gaussiennes centrées réduites indépendantes.
Ces deux variables aléatoires qui sont des fonctions (tous les cours) sont égales.

que signifie : variables aléatoires ? gaussiennes ? centrées ? réduites ? indépendantes ? égales ?
ensuite : maximum ? espérance ? variance ? (définitions et formules ad hoc)

et oui, il faut commencer par là quand on veut faire un peu de probas.

Je vais répondre à tes questions, merci de me corriger.
"Variable aléatoire" : Dans tous les cours il est bien précisé qu'une variable aléatoire est une application, donc une fonction. Lorsque c'est mis au pluriel, il y a fort à supposer qu'il s'agit, non pas de fonctions(s) mais des variables renvoyées par la fonction dont in s'agit. Cette ambiguïté a toujours posé un problème dans la compréhension des énoncés et on peut même se demander si ce n'est pas pour créer un flou volontaire. Par exemple, comment comprendre "Une variable aléatoire renvoie une variable aléatoire" ?

Une variable aléatoire gaussienne est une fonction qui renvoie de valeurs dont la répartition des écarts à la moyenne est celle de la loi normale.
Elle est centrée et réduite si on a appliqué les facteurs de translation et d'homothétie. En ce cas, elle est unique et ses valeurs peuvent être tabulées dans une "table de répartition".
Deux variables (ie variations aléatoires) sont indépendantes si le résultat de l'une ne dépend pas de la réalisation de l'autre.
"Egales". Là c'est plus compliquées. Deux fonctions sont égales si étant donné les mêmes paramètres elles renvoient les mêmes valeurs. Deux variations aléatoires sont égales si elles ont la même valeur, ce qui doit être rare.

Je veux bien admettre que l'exercice concerné est "de base", raison de plus pour que je veuille le comprendre.

PS Je viens de voir la simulation de Gbzm, il s'agit de "variations aléatoires" et non de "variables aléatoires".
J'ai compris la question posée.

Bonjour Pierre,
si on prend un x négatif alors j'ai plus de chances d'avoir un y max supérieur, donc cette valeur de x sera en dessous de la gaussienne
si on prend un x positif, plus il va étre élevé de moins en moins j'aurais de chance de le dépasser avec y, plus x positif augmente plus la valeur de x au dessus de la gaussienne va tendre à rejoindre la gaussienne.
Si chris peut nous mette la courbe cela me ferait plaisir de voir ça ...

Pierre ceci de par l'indépendance ,
mais on pourrait avoir une corrélation ou x et y iraient dans le meme sens, si x négatif, y plus de chances d'etre aussi négatif, si x positif y plus de chance d'etre alors aussi positif
ou x et y évoluent de façon non indépendante en sens inverse quand x ets petit y est choisi , tombe sur une valeur élevée...

Salut Beagle,
Je n'arrivais pas à comprendre l'exercice, puisqu'il y avait 2 fonctions. Si dans l'énoncé on parlait de 1 fonction et de deux variation xi et yi au lieu de X et Y, j'aurais peut-être réussi à traduire tout seul.
Mais c'est comme de nombreux exercices, ils ne se rapportent à rien de réel, alors, j'y comprends rien.
Par contre, il y a une formule amusante citée par Gbzm max(x,y) = (x+y)/2 + |x-y|/2.
Par contre l'exécution de la valeur absolue sous-entent la capacité de l'opération "condition".

Mais il y en a un en cours ( https://www.maths-forum.com/superieur/probabilite-tcl-t252685.html ) là je comprends très bien la question. Malheureusement le demandeur n'a pas réagi à la correction d'une question précédente, je doute que Mathelot lui réponde. Sylviel s'y connait bien en combinaison de variances, peut-être réagira-t-il.

Bonjour,
Suite à la demande de Beagle, j'ai fait une simulation. Voilà le résultat.

Code:

Loi du maximum de deux valeurs aléatoires
Nombre = 1000  Moyenne = 54.86  emq=85.51  ep=57.01
Médiane = 54   min= -247.90  max=321.60
Rapport Emq/Ema = 1.25 Théorique = 1.25
Classe 1  nb=   2  0.20% théorique 0.35% |H
Classe 2  nb=  15  1.50% théorique    2% |HH
Classe 3  nb=  71  7.10% théorique    7% |HHHHHHHH
Classe 4  nb= 168 16.80% théorique   16% |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 247 24.70% théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 242 24.20% théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 162 16.20% théorique   16% |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  69  6.90% théorique    7% |HHHHHHH
Classe 9  nb=  21  2.10% théorique    2% |HHH
Classe 10 nb=   3  0.30% théorique 0.35% |H

J'avoue que je m'attendais plutôt à une loi exponentielle. Mais c'est une très jolie courbe de Gauss.

Apparemment Gbzm n'est pas d'accord concernant le résultat "courbe de Gauss".
D'abord,

Gbzm a écrit:le maximum des deux gaussiennes centrées réduites indépendantes

Si on veut se comprendre, il faut parler la même langue. Une gaussienne est, dans le langage habituel un courbe représentative de la fonction de Gauss, plus connue sous le nom de "loi normale".

Wikipédia a écrit:Une fonction gaussienne est une fonction en exponentielle de l'opposé du carré de l'abscisse (une fonction en exp(-x2)). Elle a une forme caractéristique de courbe en cloche.

L'exemple le plus connu est la densité de probabilité de la loi normale
f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 (c'est la formule mal copiée.)
où μ est l'espérance mathématique et σ est l'écart type.

"Deux gaussiennes centrées réduites" sont strictement superposables. Peut-être qu'en rajoutant le terme"variables" avant "gaussiennes" l'énoncé aurait été plus clair et aurait évité des échanges désagréables. Fin de commentaire.

La question est de savoir si une liste donnée de valeurs a une répartition normale.
Le second théorème de Bernoulli dit que si les valeurs de cette liste résulte de la même expérience, alors la répartition est normale.
Par ailleurs, il y a des méthodes pour le vérifier.
Personnellement, j'utilise la comparaison du rapport emq/ema à 1.25. Dans mes essais, ce test est positif.
En parallèle, je compare le nombre d'écarts à la moyenne arithmétique dans chacune des 10 classes de largeur égale à un écart probable. Ce test aussi est positif.
Gbzm parle d'échantillon de 5000 qui ne satisfait pas au test de Shapiro. J'ai bien lu l'affirmation et je n'ai naturellement aucun argument pour la contrer.
Il est tout de même intéressant de remarquer que les résultats obtenus pour la moyenne sont homogènes. J'ai cru comprendre que cette valeur était calculable de façon exacte.

ton histogramme a une allure en cloche et idem pour la courbe dessinée par GBZM.
Mais c'est du à la louche cette cloche.

Intuitivement lorsque l'on prend le max on a envie de dire que pour les queues de distributions,
a droite on est au-dessus de la gaussienne centrée reduite et progressivement on s'en rapproche jusqu'à se confondre
à gauche on est en dessous de la gaussienne centrée reduite, et plus on diminue , plus on va vers la gauche plus on décroche de la queue de distribution de la gaussienne centrée reduite.
Bref comme l'indique GBZM avec médiane inférieure à la moyenne cela correspond à un skewed positif
et regarde les courbes qui correspondent à cela
tu verras une pente plus abrupte à gauche et plus douce à droite.

Que toi tu n'ais jamais eu besoin d'utiliser les asymétries de queues de distribution ne signifie pas que cette partie mathématique ne soit importante en physique ou autre domaine.

PS: comme toi je pensais néanmoins que la figure serait plus parlante dès l'oeil !

Salut Beagle,
Je tiens à préciser que le n'ai jamais dit que la série des maxi avait une répartition normale. J'ai fais les calculs, montré les résultats et il s'avère que les test sont positifs. Avec ma simulation, la médiane correspond à la moyenne, le test emq/ema est positif, la répartition des classes est correcte. Alors je dirais que tous les contrôles laissent croire que la répartition est normale. Quand c'est la même personne qui me dit que la loi normale ne résulte pas d'une démonstration, donc que ce n'est pas un théorème, et qui me dit que le dit résultat n'est pas conforme à la loi normale, je ne suis pas obligé de le croire sur parole.

PS Je voudrais ajouter un truc : non seulement je n'ai jamais dit que le résultat respectait la loi normale, j'ai seulement dit que "c'est une très jolie courbe de Gauss", rien d'hérétique là dedans, juste une observation esthétique.

Bonsoir Pierre,
courbe de Gauss c'est connoté loi normale,
courbe en cloche peut-ètre moins.
Mais tout ceci est très intéressant, je m'attendais à plus d'asymétrie en effet,
alors faut-il pousser le bouchon pour mieux l'observer?
Exemple prendre plus que deux loi normales centrées reduites,
prendre le max de 3 ou 4 ou 10
Question à partir de combien on voit avec ses yeux une asymétrie assez nette?
Tu vois tu as tort de virer les gens, GBZM aurait pu nous mettre un beau dessin.
Et avec tes analyses , à partir de combien de max tu tiques pour courbe de Gauss ?

PS: Chris est toujours là, pas viré?
il pourra peut-etre le mettre?

Bonsoir Beagle.
D'abord Gbzm n'est pas viré, simplement il ne peut pas intervenir.
Si il veut de nouveau intervenir, il suffit de me demander, il n'y a aucune condition.
Je tiens à préciser que je n'ai utilisé cette procédure que dans le cas d'attaque personnelle, et en aucun pour des avis ou affirmation que je n'approuve pas.
En d'autres termes, je n'accepte pas les insultes. Je tiens à préciser que le cas de Chris, alias 4fun, alias Léon est particulier, pour des raisons qui me sont personnelles. Son cas est très particulier, je le connais depuis de nombreuses années, il ne répons que s'il a des critiques à m'envoyer. C'est son plaisir, je le respecte.
Concernant le sujet concerné, j'ai ouvert ce fil simplement parce que je ne comprenais pas le question : plusieurs variables d'une même expérience ou plusieurs expériences. Je me suis expliqué longuement.
Que le résultat soit conforme à la loi normale, on s'en fout, pour la simple raison que ce n'est pas une expérience intéressant dans le monde réel.

Je répète et je confirme, je n'ai jamais viré ni interdit personne pour cause de désaccord mais pour cause de défaut de correction élémentaire.

PS Chris n'intervient pas, probablement parce qu'il espère que j'oublie la question précise que je lui ai posée.

Bonjour Pierre,

"Je répète et je confirme, je n'ai jamais viré ni interdit personne pour cause de désaccord mais pour cause de défaut de correction élémentaire."
Chaque forum s'organise et modère comme il le veut,
c'est juste que ton site Pierre,
où tu vas chercher des problèmes posés sur des sites où tu es interdit,
où les intervenants ne répondent pas non plus sur ton site,
c'est tout de mème particulier...

Sinon j'en ai une autre pour ceux qui veulent jouer.
deux lois normales centrées reduites et indépendance des xet y
on prend une fois sur deux le max et une fois sur deux le min de x ou y.
Par rapport à précédent on devrait resymétriser la courbe,
mais cela devrait je pense renforcer les queues de distribution de la loi normale centrée reduite
et cela ne devrait pas passer le test de normalité de Shapiro .

Pierre que ceci ne soit pas du réel est pour autant intéressant, cela dit comment bouge le machin quand on appuie ici ou là.

PS: Chris doit etre en week-end alors si pas viré
et si Cris est Léon1789 je connais maintenant une partie de votre historique ...

Je pense que sur la courbe en cloche de GBZM on voit déjà l'asymétrie,
s'il avait pris une meilleure échelle et posé le niveau haut
la partie droite de la courbe va jusqu'à 3,7 ou 3,8 si pic à 0,56 mettons du 0,6 on est au-delà de 3 d'étendue à droite
la partie gauche de la courbe va jusqu'à - 2,3 -2,4 maxi soit moins de 3 en étendue à gauche
mais cela pourrait dépendre des tirages obtenus...

Bonjour Beagle,
Je vais essayer de te répondre.
La théorie des probabilités fait partie de ma formation de base. De plus, je m'y suis beaucoup intéressé.
J'ai essayé depuis que je suis en retraite de faire profiter d'autres de mes connaissances. J'avoue avoir été très étonné des réactions, pour simplifier, ça tient en une phrase "je ne le sais pas, donc ça ne peut pas être vrai".
Le document de l'EN que j'ai cité quelque-fois décrit très bien la situation, mais avec leur capacité les matheux arrivent toujours à ne pas comprendre ce qui est écrit, en toutes lettres, noir sur blanc.
Bref, j'ai fini par créer mon forum. Ca permet à certains de m'insulter tranquillement, puisque je ne suis pas viré de mon forum. Mais quand ils tirent trop sur la corde, ça casse.
J'ai eu de gros soucis avec Gbzm, à propos de redressement d'image. Aucun dialogue n'était possible, même LB2 a renoncé.
J'essaye de maintenir une certaine tenue à ce forum.
Concernant le présent sujet, je l'ai cité parce que je ne comprenais pas la question. Toujours cette manie d'utiliser la même expression pour un fonction et la valeur renvoyée, la phrase devient incompréhensible. Il y a quelque temps, un membre a fait le même remarque, j'ai cité son intervention, il a été viré ou il s'est barré.
Concernant la courbe, comme je l'ai dit, je m'attendais à obtenir une courbe exponentielle, j'ai tout de même donné le résultat en observant la forme caractéristique. Les résultats numériques font partie des résultats automatiques.
Il n'y a donc aucune raison de m'agresser à ce point.

Salut Pierre,
tu parles d'agression?
de la part de qui?
Je regarde ce sujet, j'ai été surpris par ton histogramme et la courbe en cloche de GBZM.
J'ai essayé de concilier mon intuition l'asymétrie avec les résultats obtenus.
Ce fil de discussion me plait bien.

En d'autres temps,  d'autres moeurs j'aurais repris le sujet avec mes autres propositions sur maths forum,
mais n'ayant aucunement envie de me coltiner Lyssenka, j'apprécie qu'elle ne réponde plus sur ton site, cela me repose.
Mais aucun reproche dans le fil de discussion sur ce que tu racontes Pierre, aucun ...

Je n'ai meme pas pris le temps de répondre à Dattier sur la logique le fil est intéressant aussi,
j'ai voulu jouer avec celui-ci

Et si tu veux faire des simulations et dire à partir de quels histogrammes tu tiquerais comme je l'ai proposé,
c'est open, c'est si tu as envie

PS: s'agissant des exclus c'était juste un regret que ton site se vide, juste ça...

Oui, mes mots ont un peu dépassé ma pensée. J'avais en tête les réaction de Chris, que tu peux lire, et celle de Sylviel que j'ai eues par mail.
Je vais faire les simulations que tu proposes.

Voila le résultat :

Code:

Loi du maxi et mini alterné de deux valeurs aléatoires
Nombre = 1000  Moyenne = -58.34  emq=82.22  ep=54.81
Médiane = -55   min= -301.50  max=205.47
Rapport Emq/Ema = 1.25 Théorique = 1.25
Classe 1  nb=   3  0.30% théorique 0.35% |H
Classe 2  nb=  14  1.40% théorique    2% |HH
Classe 3  nb=  88  8.80% théorique    7% |HHHHHHHHH
Classe 4  nb= 154 15.40% théorique   16% |HHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 231 23.10% théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 260 26.00% théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 166 16.60% théorique   16% |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  55  5.50% théorique    7% |HHHHHH
Classe 9  nb=  25  2.50% théorique    2% |HHH
Classe 10 nb=   4  0.40% théorique 0.35% |H

Ce qui est étonnant c'est que la moyenne est négative. Là je m'attendais à une moyenne proche de zéro.
Par contre, je constate la normalité du résultat.

oui c'est bizarre on dirait le résultat inverse du seul min.

et pourquoi dans le titre tu marques loi uniforme?

Non, loi uniforme, c'est une erreur, je corrige.

Bonjour,

Je trouve étrange que malgré les multiples mises à l'écart, et les banissement répétés de GBZM, Léon et Sylviel.

Ils persistent à revenir sur ce forum.

L'excuse que sort Léon : insulte (en remettant en cause la compétence) de certains matheux...

En effet s'il veut des forums où on remet en cause la compétence des matheux sont nombreux mais personne pour les lire donc...

Au contraire en participant ici, il donne de l'importance, et se sent obligé de répondre, cela met la lumière dessus et donne l'impression que cela est fondée.

Devant cela j'ai 2 hypothéses :

1) Dlzlogic dit des choses tellement dangereuse pour les maths qu'il faut absolument le contrer.

2) Tout ce monde (les participants de ce forum) est complice, et avec ce forum ils explorent les limites de l'absurde...

Bonne journée.

Salut Dattier,
Je me suis posé ce type de question. Pour résumer et pour faire simple, grâce à l'anonymat certains membres peuvent se défouler. Tout le reste s'en déduit.