Opération sur des variables aléatoires.

Bonjour,
Je me suis intéressé à cet exercice :
https://www.maths-forum.com/superieur/probabilite-t212603.html
Je me pose un peu la question de la signification d'opérations sur des variables aléatoires indépendantes.
Quand on écrit X=U+V, je suppose que l'on crée une variable aléatoire X telle que x1=u1+v1 ; x2=u2+v2 ; ... xn=un+vn.
Idem pour les autres opérations.
Les opérations addition et soustraction ne posent pas de problème, le résultat est facile à trouver et surtout, il n'est pas très difficile de trouver des applications.
Pour Z il n'est pas très difficile de trouver l'espérance, mais je n'arrive pas à trouver d'exemple d'application.
Pour les min et max, l'espérance est 1/3 et 2/3, là je sèche.
Je suppose que les membres qui répondent dans le forum concerné vont apporter des explications précises.

Bonsoir,
Malheureusement, comme souvent, il n'y aura pas de suite sur le forum concerné.
J'ai donné une partie de mes résultats, un petit complément : à l'évidence les variables X et Y suivent une loi normale.
Pour la variable Z, c'est peut-être une loi exponentielle ou un truc comme ça.
Mais j'aimerais bien savoir à quoi correspondent les variables M et N.
Pour la variable Z, j'ai déjà expliqué à Sylviel mon incompréhension concernant le produit de variables aléatoires. On peut calculer le produit des valeurs prises 2 à 2, mais le produit de deux fonctions, j'ai du mal à l'imaginer.
A propos de la comparaison avec la fonction sin(x), si on écrit un produit, on écrit le produit des valeurs renvoyées par les fonctions concernées. La comparaison n'est pas valable pour une variable aléatoire.
Bonne soirée et merci d'avance pour les explications.

Bonjour,
GBZM a fait un joli dessin pour visualiser la variable aléatoire Z=U*V.
Ce serait intéressant qu'il développe son affirmation "On peut se servir de ce calcul pour voir que l'espérance de est 1/4.".
Cela sous- entend
1- qu'il précise l'intérêt de la représentation géométrique et le calcul sous-jacent.
2- qu'il fasse le rapport avec le calcul de l'espérance de Z.

Accessoirement, il voudra bien donner un exemple dans le monde réel de l'utilisation d'une variable Z=U*V.

Bonjour,
J'ai précisé que je séchais concernant les variables M e N, mais cela ne m'interdit pas de continuer à chercher à comprendre. J'ai relu la phrase de Sylviel :
" tu peut aussi commencer par max(U,V), à partir de la définition de la fonction de répartition, et de l'indépendance."
A l'évidence max(U) = 1 et max(V) = 1, on pourrait en déduire que max(U,V)=1.
Si on applique les "opérations" sur variable, telles que je les ai définies dans mon premier message, alors il y a un problème, puisque l'espérance de la variable M=max(U,V) est manifestement 2/3.
Cela vient probablement de "ma" définition des opérations sur les variables aléatoires, mais alors quelle est la définition ?

Réf. http://ressources.unisciel.fr/sillages/mathematiques/cours_1a_ecs/res/15_Operations_sur_les_variables_aleatoires_discretes.pdf
page 6 "Il faut donc faire attention car en général : V(X+Y) ≠ V(X) + V(Y). "
Ceci est assez surprenant. Serait-ce différent entre les variables discrètes et les variables continues ? Là, ça pose un grave problème !
C'est là qu'intervient l'indépendance et la corrélation. Pour deux variables indépendantes et non corrélées, la covariance est nulle. Malheureusement il y a un problème, numériquement une covariance ne peut pas être nulle. Explication possible : l'étude des probabilités dans le cas des variables discrètes ne concerne que les proportions dans le cas de la théorie des ensembles dénombrables.
A la fin de ce cours, il est fait référence à l'inégalité fondamentale de Bienaymé dans le cadre de la loi des grands nombres. Comme c'est noté dans ce document : http://www.dlzlogic.com/aides/DocENtxt.pdf "La démonstration “moderne” dans la théorie axiomatique de Kolmogorov repose sur une majoration assez grossière donnée par la formule de Bienaymé - Tchebychev, majoration peu utile en pratique. "

Bonjour,
Apparemment le demandeur est de bonne volonté, puisqu'il suit son sujet, mais je n'ai pas l'impression qu'il soit bien avancé.
Il s'agit d'opération sur des variables aléatoires. Une variable aléatoire est une fonction. Les opérations telles la multiplication sur des variables aléatoires sont difficilement compréhensibles.
Lorsque les variables aléatoires sont discrètes, on trouves des formules qui a mon avis concernent plus des notions de proportions d'ensembles que des notions de probabilités.
Dans le cas du présent exercice, il s'agit de variables continues, alors qu'en est-il ?
La comparaison avec la fonction sin ne tient plus vraiment.
J'ai déjà parlé de l'opération M=max(U,V). Si on considère que U et V sont indépendantes, alors M=max(U,V) = max(max(U), max(V)) = 1. Cela ne me semble pas vraiment intéressant. Par contre, si on prend la définition que j'ai précisée dans mon premier message, alors M=2/3. Mais je ne sais pas ce que ça représente, l'intérêt de cette opération, une exemple d'application, etc. ?

L'analogie du carré décrite par GBZM mériterait d'être justifiée. En effet, elle sous-entend que chaque point de la surface est adressé une et une seule fois, ou plutôt un nombre égal de fois. Je sais que c'est vrai, encore faut-il le démontrer. En tout cas, ni le demandeur, ni même Sylviel ne semblant convaincu par cette méthode.

C'est dommage, j'ai bien l'impression que c'est encore une question qui restera sans réponse.

Bon, manifestement le demandeur a bien cherché.
Il donne des résultats en fonction de 't'. C'est quoi 't' ? Je n'ai pas vu qu'il ait été fourni dans l'énoncé.
Cette réponse me rappelle un vieux "paradoxe' où la réponse dépend d'une hypothèse de calcul et non d'une lecture de l'énoncé.
De toute façon, à part l'addition et la soustraction qui peuvent être assimilé à une translation, il faudrait définir ce qu'est une opération entre variables aléatoires.
Pour mémoire la multiplication d'une variable aléatoire par un scalaire est bien définie aussi : c'est une homothétie, appelé aussi "changement d'échelle".
On retrouve un peu ce type de problème avec les vecteurs. Si on fait un produit vectoriel, on change de dimension.

Lu dans Wikipédia (https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_d%27Irwin-Hall) :

Wiki a écrit:Pour générer des nombres pseudo-aléatoires ayant une loi approximativement normale, on peut générer, par simplicité, des sommes de nombres pseudo-aléatoires de loi uniforme continue.

C'est marrant, l'article ne dit pas pourquoi, c'est tout simplement l'application du TCL.
Je pense que sachant cela, Wikipédia se trouvera d'office déclaré hérétique, sans autre forme de discussion.
Merci à LB2 d'avoir donné l'info.

Bonjour Sylviel,
Si tu lis ce fil, tu as participé aux échanges, apparemment tu n'es pas vraiment d'accord avec GBZM. LB2 a donné une réponse pour X et Y qui me parait satisfaisante.
Je ne comprends pas ce résultat :
"pour X j'ai trouvé: 0 si t<= 0; t²/2 si 0<t<1; 1-(2-t)²/2 si 1<t<2 et 1 si t>= 2"
Ca me ferait plaisir que tu m'expliques, si toi, tu le comprends.
Dans tous les cas, quelle serait la correction de cet exercice ? Un petit exemple dans le cas de Z = (U * V) m'intéresserait vraiment.

Bonjour,
Cela fait 10 jours que personne n'est intervenu sur ce sujet. Trois membres actifs dans ce domaine ont donné leur avis, mais les choses en sont restées là.
A mon avis ce qui bloque la résolution de cet exercice, c'est la définition de "variable aléatoire". Toutes mes lectures vérifient qu'un variable aléatoire est une fonction, c'est à dire une application, normalement bi-univoque d'un ensemble E dans un ensemble F. Ca, c'est complètement abstrait. On a inventé les espaces vectoriels pour résoudre ce type de problème et le calcul vectoriel est l'outil idéal.
Dans le contexte des probabilités où ce qui importe c'est seulement les résultats obtenus par l'application répétée de cette fonction. Lévy avait employé le qualification de "éventuel", l'article de Wikipédia reprend ce terme.
Dans le contexte des probabilités, que représente l'opération "produit de variables aléatoires". Il y a donc au moins 2 variables dans l'opération. Ce produit est-il commutatif ? certainement pas.
Donc, la question reste posée.
Cette question est posée de façon très claire aujourd'hui : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1895122
Si on comprend l'énoncé en considérant que Xi et Xi+1 sont deux valeurs d'une variable aléatoire X, alors c'est parfaitement clair. Sinon, j'aimerais bien comprendre.