Variables aléatoires indépendantes.

Bonjour,
Réf. : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2184938
Je vais détailler l'énoncé.
U est une variable aléatoire sur [0 ; 1]
Les variations de U sont donc u1, u2, ... un.
X et Y sont des variables aléatoires, la question est de savoir si elles sont indépendantes ou pas.

Mon interprétation : dans cet énoncé, il y a une seule variable aléatoire U.
Les variables X et Y ne sont pas aléatoires, puisque connaissant ui on connait xi et yi, les variations de X et de Y.
On appelle cela un changement de variable.
Mais ceci est mon interprétation personnelle, le fait que X²+Y²=1 est à mon avis le piège de la question.

"Mon interprétation : dans cet énoncé, il y a une seule variable aléatoire U.
Les variables X et Y ne sont pas aléatoires, puisque connaissant ui on connait xi et yi, les variations de X et de Y."

Comme tu dis, c'est ton interprétation, qui montre juste, une fois de plus, à quel point tu es ignorant des notions les plus basiques de probabilités.

@ 4Fun,
Alors d'après toi, les variables X et Y sont indépendantes ou pas ?
Il n'est pas utile de donner tes appréciations personnelles sur ce que tu penses de mes connaissances.

D'abord, il semble que l'écriture de X²+Y²=1 a satisfait plus d'un.
Bon, une question : soit X=sin(2pi U) et U est la variable aléatoire dont il est question.
Soit la variable aléatoire Y=f(U). f étant une fonction quelconque, par exemple Y=lg(1+U) ou Y=exp(U).
U est naturellement la variable aléatoire telle que définie dans l'énoncé de base.
Est-ce que on peut démontrer simplement que les variables X et Y sont non indépendantes ?
Ou tout simplement que X et Y sont deux fonctions indépendantes qui dépendent d'une même variable U, par le biais des variations u1, u2,... ui,...un.
J'ai réellement l'impression que là encore on fait un amalgame entre "variable aléatoire" et "valeur renvoyée par une variable aléatoire".
D'ailleurs, sauf dans le cas de changement de variable, je ne comprends pas très bien le sens de sin(2pi U).

"Alors d'après toi, les variables X et Y sont indépendantes ou pas ?"

ce n'est pas "d'après moi", leur non-indépendance découle des définitions.
Plusieurs démonstrations ont été données.
Une autre : X et Y sont indépendantes alors X^2 et Y^2 sont indépendantes, auquel cas, pour tout intervalles I et J on a P(X^2 \in I, Y^2 \in J) = P(X^2 in I)*P(Y^2 in J).
Or X^2+Y^2 = 1, donc P(X^2 > 0.5 , Y^2 > 0.5) = 0 or P(X^2 > 0.5)*P( Y^2>0.5) >0.

"Il n'est pas utile de donner tes appréciations personnelles sur ce que tu penses de mes connaissances."
Ce n'est pas une appréciation personnelle, c'est un fait que tu t'escrime à prouver à chacun de tes messages.

"Bon, une question : soit X=sin(2pi U) et U est la variable aléatoire dont il est question.
Soit la variable aléatoire Y=f(U). f étant une fonction quelconque, par exemple Y=lg(1+U) ou Y=exp(U).
U est naturellement la variable aléatoire telle que définie dans l'énoncé de base.
Est-ce que on peut démontrer simplement que les variables X et Y sont non indépendantes ?"

Oui, par exemple avec les probabilités conditionnelles. Tu sais les "sachant que" que tu rejettes en bloc.

Exemple pour le cas Y = e^U.

Si X et Y sont indépendantes on a, pour tout a et b, P(X=a|Y=b) = P(X=a).
Or, sur l'évènement {Y=1} on a {U=0} et donc {X=0}.
Donc P(X=0 | Y=1) = 1 alors que P(X=0) = 0.

"Ou tout simplement que X et Y sont deux fonctions indépendantes qui dépendent d'une même variable U, par le biais des variations u1, u2,... ui,...un."


La notion d'évènements indépendant est parfaitement définie,
la notion de variables aléatoires indépendantes est parfaitement définie,
Que signifie "fonctions indépendantes qui dépendent d'une même variable" ?


"J'ai réellement l'impression que là encore on fait un amalgame entre "variable aléatoire" et "valeur renvoyée par une variable aléatoire"."

Pour rappel, soit (Omega,F,P) un espace probabilisé. Une variable aléatoire réelle est définie comme une fonction de Omega dans R.
Donc o -> U(o) est une fonction de Omega dans R (donc une variable aléatoire)
o -> e^{U(o)} est toujours une fonction de Omega dans R (donc une variable aléatoire)
o -> sin(2*pi*U(o)) est toujours une fonction de Omega dans R (donc une variable aléatoire)

Il n'y a de confusion que dans ton esprit.

"D'ailleurs, sauf dans le cas de changement de variable, je ne comprends pas très bien le sens de sin(2pi U)."

Oui, on sait que ta compréhension des mathématiques, et des probabilités en particulier, est très limitée. Tu nous a fait le coup pour Var(2X) à dire que 2X n'avait pas de sens.
Ce n'est pas bien grave. Ce serait mieux que tu le réalises et arrêtes d'essayer de corriger les probabilistes sur leur domaine de compétence.

Bonjour 4Fun,
Je crois bien que c'est la première fois que tu expliques quelque-chose. Tu es en progrès.

J'ai déjà eu l'occasion de le dire, dans ma compréhension, sin, cos, tg etc. sont des lignes trigonométriques et non des fonctions. C'est d'ailleurs l'expression employée par Bouvart et Ratinet. En d'autres termes, la définition de sin est parfaitement claire et précise indépendamment de toute notion mathématique, en particulier de la notion de "fonction".
Par extension ou par mimétisme ou dans un but de généralisation on a assimilé ces lignes trigonométriques à des fonctions.
Mais il reste clair que l'arc trigonométrique est et doit être une valeur numérique, sinon, la ligne trigonométrique écrite n'a pas de sens. Dans l'écriture sin(U), U doit être une valeur numérique d'un arc dans l'unité attendue par sin. Or U est une variable aléatoire, donc une fonction.

Cette démonstration (la tienne) ressemble assez bien une explication donnée dernièrement par Aléa voir https://dlz9.forumactif.com/t769-encore-l-independance
Tu serais donc d'accord avec Aléa, pourquoi pas. Cette théorie lui permet de gagner sa vie, de vendre ses bouquins. Ma question : quelle est l'utilité de cette théorie, à part proposer des exercices ? J'aimerais bien avoir des exemples concrets d'utilisation de cette théorie, par opposition à la théorie habituelle des probabilités, connue et utilisée depuis deux siècles.
Pour être simple, je désire absolument des arguments sinon, je scinderai ce qui concerne les probabilités et ce qui concerne cette théorie. Ce sont deux chapitres complètement différents et incompatibles, puisqu'ils ne partent pas des même hypothèses de base.

"Je crois bien que c'est la première fois que tu expliques quelque-chose."

Tu n'as vraiment pas peur du ridicule en écrivant ce genre de choses...

https://dlz9.forumactif.com/t771-un-exercice-difficile#10778
https://dlz9.forumactif.com/t745p25-gestion-de-stock#10605
https://dlz9.forumactif.com/t734-exemple-de-trois-voitures#10511
...

"J'ai déjà eu l'occasion de le dire, dans ma compréhension, sin, cos, tg etc. sont des lignes trigonométriques et non des fonctions."

Ah, tu ne sais pas que x -> sin(x) est une fonction analytique de R dans R, dont on peut calculer la dérivée, une primitive, le DL.... ?
Tu ne connais décidément pas grand chose en maths alors

"Mais il reste clair que l'arc trigonométrique est et doit être une valeur numérique, sinon, la ligne trigonométrique écrite n'a pas de sens. Dans l'écriture sin(U), U doit être une valeur numérique d'un arc dans l'unité attendue par sin. Or U est une variable aléatoire, donc une fonction."

Bon tu as toujours un problème avec la composition de fonctions.

Soit x -> f(x) une fonction (trigonométrique, polynomiale, exponentielle...) de R dans R.
Soit x -> g(x) une autre.

Alors x -> f[g(x)] est bien une fonction de R dans R. Incroyable non ?

Maintenant faisons cela avec une variable aléatoire X : Omega -> R, et une fonction f : R -> R.
la fonction omega -> f(X(omega)) est bien une fonction de Omega dans R, il s'agit donc d'une variable aléatoire.
C'est on ne peut plus élémentaire.

Exemple : je construis des sphères dont le rayon est incertain :
- le rayon est une variable aléatoire
- le volume est une autre variable aléatoire.

"Tu serais donc d'accord avec Aléa, pourquoi pas. Cette théorie lui permet de gagner sa vie, de vendre ses bouquins. Ma question : quelle est l'utilité de cette théorie, à part proposer des exercices ? J'aimerais bien avoir des exemples concrets d'utilisation de cette théorie, par opposition à la théorie habituelle des probabilités, connue et utilisée depuis deux siècles."

Mais pourquoi diable continue tu de croire que la théorie d'Aléa, qui est celle enseignée et utilisée par l'ensemble des probabiliste du monde serait différente
de "la théorie habituelle des probabilités, connue et utilisée depuis deux siècles" ?

Il n'y a que toi pour penser cela.

"Pour être simple, je désire absolument des arguments sinon, je scinderai ce qui concerne les probabilités et ce qui concerne cette théorie. Ce sont deux chapitres complètement différents et incompatibles, puisqu'ils ne partent pas des même hypothèses de base."

Comme d'habitude tu affirmes sans le moindre argument qu'il s'agit de deux choses différentes. Tout comme tu as prétendu que Kolmogorov ne connaissait pas le TCL...

La réalité c'est que tous les résultats connus depuis deux siècles sont des résultats naturels de la théorie moderne des probabilités.
Exemple : ce que tu appelles les deux théorèmes de Bernoulli : ce sont des applications directes de la loi des grands nombre et du TCL au cas particulier d'une suite de variables de Bernoulli iid.

4Fun a écrit:Tout comme tu as prétendu que Kolmogorov ne connaissait pas le TCL...

Oh, c'est pas moi qui le dis, c'est un document de l'EN.
http://www.dlzlogic.com/aides/DocENtxt.pdf

"Oh, c'est pas moi qui le dis, c'est un document de l'EN."

Si si, c'est bien toi qui le dis. Aucun document de l'EN ne dis que Kolmogorov ne connait pas le TCL
(sinon merci de donner une référence précise qui confirmerais tes dires).

Le document de l'EN que tu cite dis simplement que la démonstration moderne qui s'appuie sur l'axiomatique de Kolmogorov
est différente de celle donnée par Bernoulli dans un cas particulier.  

Accessoirement Kolmogorov a démontré des extensions du TCL (par exemple :https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/1101030)

Au passage il n'est pas très clair de savoir si tu prétends qu'il ne connait pas le TCL seulement ou s'il ne connait pas la loi des grands
nombre non plus. Auquel cas je te livre ce lien https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31445/f910.item (p910) : compte rendu de l'académie
des sciences d'une note de Kolmogorov démontrant la loi forte des grands nombres.


Mais bon, ça ne t'empêcheras pas de répéter tes mensonges.


On voit a nouveau ici la méthode Dlzlogic : j'affirme sans argument. Je dis "c'est expliqué dans ce gros pdf" (qui ne confirme en rien les propos de Dlzlogic).

Merci pour ces avis.
Le premier lien est en anglais avec une majorité de termes très spécialisés, donc, pas vraiment utilisable pour moi.
Le second est plus intéressant.
A l'occasion, si tu as le temps, tu pourras essayer de m'expliquer la différence entre la loi faible des grands nombres et la même en plus forte.
Il est vrai que si je dis que K. ne "connaissait" pas le TCL, c'est suite à une lettre de Lévy à K. et au long bas de page de J. Harthong. Le document de l'EN n'était qu'une confirmation d'une source incontestable. Par ailleurs, je n'ai jamais réussi à savoir quelle était l'origine de cette expression [TCL], c'est à dire la traduction du mot en langue allemande et l'auteur de ce mot. J'ai l'impression que cela date d'après 1930 donc d'après les travaux de Kolmogorov. Mais c'est un détail sans grande importance.

"Le premier lien est en anglais avec une majorité de termes très spécialisés, donc, pas vraiment utilisable pour moi."

Il suffit de lire le titre "Two Uniform Limit Theorems for Sums of Independent Random Variables"
que l'on traduit par deux théorèmes de limite uniforme pour la somme de variables alétoires indépendantes.
Si tu comprenais de quoi parle le TCL tu réaliserais qu'il s'agit bien d'extensions de ce théorème.

"A l'occasion, si tu as le temps, tu pourras essayer de m'expliquer la différence entre la loi faible des grands nombres et la même en plus forte."

A quoi cela servirait-il ? Tu ne fait jamais le moindre effort de remise en question de tes a priori, quel que soient les arguments.
Par ailleurs la différence est subtile et bien au delà de tes capacités de compréhension (vu que tu ne comprends toujours pas la différence
entre variable aléatoire et suite de variables aléatoires, ou que le fait que la moyenne empirique est une variable aléatoire).

Par soucis de complétude : les deux énoncés (dans leur forme classique) parlent de la même chose.
Soit (X_i)_i une suite de va iid intégrables d'espérance mu.
Soit M_n = (X1+ ... + Xn)/n la moyenne des n premières variables aléatoires de la suite (c'est bien une variable aléatoire)

Alors la loi faible des grands nombre dis que Mn converge en probabilité vers mu
la loi forte dis que Mn converge presque sûrement vers mu.

La loi forte implique donc la loi faible (mais sa démonstration est bien plus difficile, et nécessite des outils dont la preuve s'appuie sur la loi faible des grands nombre).
La réciproque n'est pas vrai.
Un exemple de suite de va convergeant en proba mais pas presque sûrement : https://www.math.univ-toulouse.fr/~ckilque/documents_agregation/memoire_262.pdf
p7 contre-exemple 14.

"Il est vrai que si je dis que K. ne "connaissait" pas le TCL, c'est suite à une lettre de Lévy à K. et au long bas de page de J. Harthong.
e document de l'EN n'était qu'une confirmation d'une source incontestable"

1) le document de l'EN ne dis absolument pas que K. ne connait pas le TCL. Tu ne fais que répéter un mensonge
au sujet de ce document sans essayer d'apporter le moindre argument
2) tu parles d'une "source incontestable" que tu ne cites pas avec précision (un "bas de page de Harthong") donc ça n'a aucune valeur

"Par ailleurs, je n'ai jamais réussi à savoir quelle était l'origine de cette expression [TCL], c'est à dire la traduction du mot en langue allemande et l'auteur de ce mot. J'ai l'impression que cela date d'après 1930 donc d'après les travaux de Kolmogorov. Mais c'est un détail sans grande importance."

La dernière fois que je t'ai donné une référence sur le sujet tu as décidé que c'était "hors sujet" et supprimé le message en question.
N'est-ce point ironique ?

Au passage l'article en cité plus haut de Kolmogorov date de 1956.
Ce que Kolmogorov a fait en 1930 c'est de donner un cadre axiomatique rigoureux aux probabilités.
Bien évidemment tous les résultats connus auparavant (de Bernoulli, De Moivre ou autres) se retrouvent dans cette axiomatique.

OK,
Détail sur ta dernière phrase : ce que K. pose comme axiome sont des théorèmes, c'est à dire des propositions démontrées, apparemment il a fait une "découverte". Pour être plus précis, je reste persuadé que K. a écrit cette théorie pour justifier son activité dans un contexte mouvementé et difficile. C'est la lecture de différents documents qui m'a amené à cette idée. Cela n'enlève rien à ses capacités et à son génie mais justifie qu'on s'interroge sur sa fameuse axiomatique.
J'ai lu l'intro du fichier que tu as cité en lien, demain je le lis en totalité et je te réponds.
Bonne soirée.

"ce que K. pose comme axiome sont des théorèmes"

As-tu la moindre idée des axiomes de Kolmogorov ? Comment pourrait-il être des théorèmes ? Il s'agit uniquement des définitions
élémentaire de ce qu'est une variable aléatoire, une probabilité etc...

Un peu de lecture (en français) à ce sujet : https://math.univ-angers.fr/~chaumont/rpdfiles/Kolmogorov.pdf (voir p2)
"la publication de Kolmogorov Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung [26] est une modeste monographie de 60 pages parue en 1933 dans
un ensemble de textes consacr´es `a la th´eorie moderne des probabilit´es. La traduction russe
du texte date de 1936, et fut en grande partie r´ealis´ee en hˆate pour des raisons politiques au
moment o`u une pression importante s’exer¸cait sur les scientifiques sovi´etiques pour qu’ils
publient leurs travaux en russe et en URSS plutˆot qu’`a l’´etranger. La premi`ere traduction
anglaise date, elle, de 1950. Ce d´elai relativement important montre que l’axiomatisation
propos´ee par le savant russe ne s’est pas impos´ee d’une mani`ere aussi foudroyante qu’on le
pense habituellement. De nombreux probabilistes, et parmi les plus ´eminents, comme Paul
L´evy, ne se serviront jamais de l’axiomatisation de Kolmogorov, ce qui ne les empˆechera
en rien d’avoir des id´ees extraordinaires. En fait, hors de l’URSS, avant les ann´ees 1950, il
n’est plus ou moins que le trait´e de Cram´er [10] qui fasse r´ef´erence `a ce cadre. L’auteur n’en
donne d’ailleurs pas de justification profonde ; c’est uniquement le fait que l’axiomatisation
de Kolmogorov soit la plus pratique parmi celles disponibles `a cette ´epoque (en particulier
la th´eorie des collectifs propos´ee par von Mises) qui la lui fait utiliser. Cependant, `a partir des ann´ees 1950, elle sera adopt´ee d´efinitivement par la jeune g´en´eration. Ce qui est
s´eduisant dans le cadre formel propos´e par cette axiomatisation, c’est qu’elle fournit par
exemple une explication globale des multiples paradoxes qui avaient ´et´e ´enonc´es dans le
pass´e de la discipline (comme ceux de Joseph Bertrand, Emile Borel etc.) : `a chaque fois, ´
la donn´ee pr´ecise de l’espace de probabilit´es comme description de l’exp´erience al´eatoire
consid´er´ee permet de lever l’ambigu¨ıt´e"


"Pour être plus précis, je reste persuadé que K. a écrit cette théorie pour justifier son activité dans un contexte mouvementé et difficile."

Bizarrement de grands mathématiciens ont un avis très différent. Qui croire entre quelqu'un qui ne sait pas calculer Var(2X) et Marc Yor ou Laurent Schwartz
http://sites.mathdoc.fr/OCLS/pdf/OCLS_1989a.pdf

Le cadre qu'il a donné est celui utilisé par l'ensemble des probabilistes depuis les années 50.


"J'ai lu l'intro du fichier que tu as cité en lien, demain je le lis en totalité et je te réponds."

Et répondras tu à la question :
- Où exactement dans le document de l'EN est-il dit que Kolmogorov ne connaissait pas le TCL ? [Tu affirme que ce n'est pas toi qui le dis mais l'EN...]
- Où, exactement, peut-on trouver un "bas de page de Harthong" disant que Kolmogorov ne connaissait pas le TCL ?
Ou continueras tu ta méthode habituelle : affirmer sans preuve.

Bonjour,
J'ai lu le début du document de l'université d'Angers. C'est écrit noir sur blanc, c'est répété plus loin, on ne peut donc pas imaginer une affirmation maladroite : la théorie de K. concerne les probabilités dans l'abstrait.
Je l'avais soupçonné mais là, c'est écrit.
Donc cette théorie de m'intéresse pas et ne me concerne pas. Cela implique en particulier que le TCL ne peut en aucun cas entrer dans le cadre de sa théorie, comme le précise le document de l'EN.

La construction se fait dans l'abstrait. Les applications et résultats restent les même. Juste proprement formalisé.

Ouvre un cours de proba post 1960 de ton choix. Tu y trouveras, dans le vcadre de l'axiomatique de Kolmogirov la démonstration du TCL. Veux-tu une référence

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