Fréquences et probabilités

Bonjour,
Réf. https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2333743/frequences-et-probabilites
Cette discussion démontre clairement que les techniques qui utilisent les probabilités n'ont aucune justification.
Pour preuve, la conclusion à 12H15

D'ailleurs si on recommence à partir d'un autre échantillon, on aura, à priori, un autre intervalle. Je sais bien qu'on le voit dire partout mais on ne devrait pas.

Cette question est intéressante.
Je ne sais pas si il est facile de la résoudre analytiquement. Il y a en effet 3 paramètres, le nombre de boules de chaque couleur. Il est vrai que si on connait 2 nombres de couleurs, le troisième s'en déduit. Il n'y a qu'une seule issue favorable : on obtient les trois nombres exactement.
Le nombre de cas possibles est difficile à calculer. Chaque tirage tend vers le bon résultat, application de la loi des grands nombres et la convergence est donnée par la loi normale.
Point important : si à un instant donné de l'expérience, on a obtenu exactement les bonnes valeurs, on ne le sait pas et on va suivre l'expérience avec le nombre de tirages fixés au départ. Ce qui implique que pour n tirages donné, la probabilité d'avoir exactement les nombres voulus est très faible, voire négligeable. Prenons l'exemple avec pile ou face, il est impossible d'avoir le bon résultat avec un nombre impair de tirages.

Par contre, je pense qu'il est possible qu'à l'examen continu des résultats l'opérateur peut affiner sa prévision et décider d'arrêter l'expérience. Ce serait d'ailleurs un petit programme intéressant à faire.

Voilà ce que dit Vassillia,
et c'est en effet ce que l'on trouve dans les bons cours de stats:
"Pour un intervalle de confiance, on veut inférer la moyenne que l'on a dans la population à partir d'un échantillon. On peut utiliser la moyenne obtenue sur l'échantillon comme valeur prise par la variable aléatoire "estimateur sans biais et convergent" pour calculer un intervalle. Cela nous donne une méthode pour calculer des intervalles de manière à ce que 95% des intervalles construits de cette façon contiennent la moyenne théorique.
Mais l'intervalle en question, soit il contient la moyenne théorique, soit il ne la contient pas, il n'y a pas de hasard à ce sujet, on ne peut même pas dire qu'il a 95% de chances de contenir la moyenne théorique. D'ailleurs si on recommence à partir d'un autre échantillon, on aura, à priori, un autre intervalle. Je sais bien qu'on le voit dire partout mais on ne devrait pas."

Donc c'est dans les bons cours, peut-ètre pour les bons élèves
parce que je n'ai jamais vu pour le moment l'explication claire de la nuance.
En effet,
j'ai un échantillon bingo un intervalle de confiance de la moyenne théorique
Un deuxième échantillon, bingo un deuxième intervalle.
Je fais ainsi 10 000 intervalles de confiance.
Il sont ainsi construit que 95 % des intervalles sont traversés par la moyenne théorique.

Bon, alors maintenant je sors un intervalle de confiance au hasard de mon grand sac de 10 000
Et là, ben zut alors cet échantillon pris au hasard,
je ne peux plus dire que j'ai 95% de chance que la moyenne théorique est dedans.

Euh, pourquoi?

Si vous avez des refs sur ce sujet , je suis preneur.

Bonjour Beagle,
Ta question, elle porte sur la signification de l'intervalle de confiance, ou de la moyenne théorique ou de de la probabilité de trouver 1 fois sur 10000 la moyenne théorique à l'intérieur de l'intervalle de confiance ?
Je vais essayer de répondre.
J'ai un très grande population, donc je ne peux procéder que par échantillon.
Je prends un échantillon E1 de dimension N soigneusement calculé.
Je calcule une moyenne m1 et un écart-type e1. Je sais que 95% des valeurs sont dans l'intervalle de confiance habituel.  
Je prends un échantillon E2. La moyenne m2 st l'écart type e2 seront très proches de m1 et m2.
etc.
La moyenne générale sera la moyenne des m.
La moyenne théorique, je ne sais pas ce qu'elle vaut, je l'appelle généralement "moyenne vraie". Les fameux 95% ne sont pas 95% de chances d'avoir bon, mais c'est le nombre d'éléments qui ont été observés autour de la moyenne.  

Si on veut savoir l'intervalle de confiance sur la moyenne calculée, alors il faut prendre plusieurs échantillons on aura plusieurs moyennes on pourra calculer l'écart-type sur ces moyennes et en déduire un intervalle de confiance pour la moyenne générale.

Cela nous donne une méthode pour calculer des intervalles de manière à ce que 95% des intervalles construits de cette façon contiennent la moyenne théorique.

Cette phrase signifie "c'est la méthode pour avoir 95% de chance d'avoir bon", ce qui n'a pas vraiment de sens.
Voila le sens de ces fameux 95% : "soit un échantillon, s'il est observé honnêtement et sans faute, alors 95% des valeurs observées sont situées dans l'intervalle +/- 2 écarts-type", mais on n'a aucune indication de confiance sur la valeur de la moyenne.

Gérard a écrit:Ce n'est pas qu'on n'a pas défini l'espace probabilisé, c'est qu'il n'y en a pas. Si on a obtenu Vn=25, Rn=50,Bn=25, la question "quelle est la probabilité qu'il y ait dans le sac 25 boules vertes, 50 rouges et 25 bleues" n'a pas de sens. Même en rajoutant un "sachant que ..." puisque le nombre de boules vertes est non aléatoire.
C'est la confusion classique entre possible et probable. Le deuxième étant très souvent utilisé à la place du premier dans le langage courant. Mais ici, on est en maths.

Bon, alors j'aimerais bien que Gérard explique ce que sont les probabilités. Je fais un sondage relatif à 3 candidats. J'obtiens 25% de verts, 50% de rouges et 25% de bleus (rien à voir avec la politique). La question est bien "quelle est la probabilité du résultat des prochaines élections ?".
C'est pas le nombre de boules qui est aléatoire, c'est les tirages. Le nombre de boules est inconnu au moment de l'expérience.

Bonsoir Pierre,
je parle de l'intervalle de confiance qui dit ma moyenne théorique devrait ètre là-dedans.
Et on construit des intervalles pour que 95% des cas la moyenne théorique est dedans.

J'avais une vidéo super qui montrait le truc qui se déroulait.
au milieu une ligne verticale c'est la moyenne théorique.
on prend un échantillon on trouve une moyenne tantot à droite, tantot à gauche.
On encadre cette moyenne dans un intervalle
et le théorique se trouve inclut dans l'intervalle
Et gars faisait défiler les échantillons,
bingo a droite, bingo a gauche mais le théorique traverse
Et parfois de temps en temps, ben l'intervalle de confaince est entièrement à droite ou a gauche de notre ligne verticale.
Ce sont les 5% de cas qui sont en dehors,
(si on prend du 5%)
Si on veut du 1% , ben faut agrandir l'intervalle ...
(pour de memes identiques n valeurs dans les échantillons)

et je reformule ma question
95% des échantillons sont traversés par la moyenne théorique.

Et maintenant je prends un échantillon au hasard et je n'ai pas 95% de chances que le théorique traverse

euh, HELP!

Oh oui, j'ai bien compris ce que tu me dis, mais cela n'a rien à voir. Les 95% dont on parle, que l'on calcule etc. c'est le nombre de valeurs qui sont dans cet intervalle. La moyenne vraie est inconnue et le sera toujours, sauf dans le cas de valeurs entières, déterminées au préalable. Et cela n'est possible que dans des cas particuliers d'exercices pédagogiques.
Je rappelle que la théorie des probabilités concerne le monde réel. Quand on fait une expérience il existe une "valeur vraie inconnue". On cherche à l'approcher. La valeur la plus probable sera obtenue par la moyenne arithmétique des valeurs de l'échantillon. On sait que 95% des valeurs observées sont dans l'intervalle +/- 2 écarts-type ; 68% sont dans l'intervalle +/- 1 écart-type ; 50% sont dans l'intervalle +/- 2/3 écart-type. Cet écart-type est calculé à partir de la moyenne observée, laquelle est probablement très proche de la valeur vraie. On n'en sait pas plus. Ca, c'est mathématique, c'est démontré.

tu ne parles pas de l'intervalle de confiance d'une moyenne
ce que tu dis est encore autre chose.

on parle d'un truc comme ici:
https://www.youtube.com/watch?v=Hg3lj3Yxi2I&t=46s

Bon, le truc dure 51 minutes, j'ai pas eu la patience d'écouter plus de 10 minutes.
Donc, pour être clair, ce monsieur peut raconter n'importe quoi, même se répéter s'il n'a rien d'autre à dire, je me permets de te confirmer ce que j'ai dit à mon message précédent et ce que je raconte depuis des années.
Vers 15 mn. il dit à peu près quelque-chose de juste. Il y a aussi un détail : il parle allègrement de X mais on sait pas ce que c'est et probablement qu'il arrive ainsi à ce contre-sens que m est dans l'intervalle de confiance.
Bref, cette vidéo est à mettre dans les vidéos comiques et en math, le comique est généralement mal vu. S'agit-il réellement d'un cours fait par un prof ?

PS Franchement, est-ce que c'est avec une vidéo de ce type que tu espères me convaincre de quoi que ce soit .
La vidéo continuait et vers la fin j'ai entendu ~ "la moyenne est comprise ... "ben oui, forcément, puisque l'intervalle de confiance est calculé à partir de la moyenne !
Bref, si c'est un vrai cours, c'est absolument scandaleux.

"La vidéo continuait et vers la fin j'ai entendu ~ "la moyenne est comprise ... "ben oui, forcément, puisque l'intervalle de confiance est calculé à partir de la moyenne !

Bref tu as lu 10 mn de vidéo, mais tu n'as pas compris les 5 premieres secondes!!!
La premiere ou deuxième phrase du gars est ceci:
on veut un intervalle [a,b] de sorte que le paramètre estimé aura 95% de chances d'ètre dans l'intervalle.

Donc dans une population on a une valeur qui est de moyenne dans la population :mu
mu n'est pas connu
On fait une expérience de 100 ou 1000 données de la valeur et on obtient une moyenne de l'échantillon qui est :m1

avec ce m1 on sait que mu n'est pas loin, mais où est mu
et bien on encadre m1 dans un intervalle de façon telle que mu soit dedans dans 95% des cas

Bonjour Beagle,
Oui, c'est bien ce que j'ai compris.
Il est vrai que, par le calcul, on peut déclarer un "intervalle de confiance sur la moyenne".
Mais, tel qu'il l'explique, c'est une recette de cuisine pour réussir des exercices.
Il y a son petit couplet sur l'écart-type particulièrement énervant et sans justification.
Je préfère de beaucoup la méthode d'approche suivante "on veut un résultat avec tel écart-type, combien doit-on faire de mesures ?".
Je tiens à préciser que, dans son baratin hésitant et répétitif, c'est le terme "paramètres" qui m'a fait perdre le fil.

Pour moi, le bon cheminement mathématique est celui-là :
Une mesure ou une observation est caractérisée par sa précision.
On fait 100 fois une mesure de la même chose et de la même manière.
La précision sur la moyenne est égale à la précision sur une mesure divisée par la racine carrée de la précision sur une mesure.
On peut naturellement prendre l'écart-type comme unité de précision.

Mais c'est pas la peine de se fâcher pour si peu.

Pierre le débat se tend lorsque tu répliques en insultant les mathématiciens, et les mathématiques.
Je pense que tu devrais le faire type art martial,
en respectant l'adversaire.
Honorable mathématicien de l'intervalle de confiance, je me permets de vous contredire sur ceci cela.

Là un gars que tu connais pas,
une notion mathématique qui ne t'intéresse pas,
ben bingo c'est des comiques qui racontent n'importe quoi.

Please un peu de respect.

On salue et on quitte le tatamis!!!
Honorable Pierre.

Ce type de calcul s'appelle le "calcul d'erreur". S'il y a une spécialité qui a étudié et utilise cette notion, c'est bien la mienne.

Peut-ètre es-tu plus intéressé par l'intervalle de fluctuation que par l'intervalle de confiance.

Dans les résultats d'études de médoc que j'ai discutés antérieurement, on prend un intervalle de confiance du RR et on regarde si l'hypothèse nulle du RR = 1 traverse ou non cet intervalle de confiance. Si le RR est décalé à gauche ou à droite avec la ligne verticale du 1 qui ne le traverse pas, alors on rejette l'hypothèse nulle.
ceci est UN usage.

Avant de te répondre, j'ai relu mon papier sur le sujet, écrit il y a de nombreuses années.
http://www.dlzlogic.com/aides/Test_qualite.pdf
Je l'ai écrit avec soin. J'y ai indiqué des exemples (les citations en italique) et j'ai écrit des commentaires.

Si tu veux en parler, merci de commenter ce papier.

Pour la question de base, j'ai fait 10 fois 1000 tirages.
L'urne contient 45 boules vertes 30 boules rouges et 25 boules bleues. Voilà le résultat :
Vertes = 463 ; Rouges = 287 ; Bleues = 250
Vertes = 466 ; Rouges = 274 ; Bleues = 260
Vertes = 451 ; Rouges = 278 ; Bleues = 271
Vertes = 437 ; Rouges = 316 ; Bleues = 247
Vertes = 483 ; Rouges = 275 ; Bleues = 242
Vertes = 438 ; Rouges = 331 ; Bleues = 231
Vertes = 450 ; Rouges = 288 ; Bleues = 262
Vertes = 413 ; Rouges = 341 ; Bleues = 246
Vertes = 443 ; Rouges = 293 ; Bleues = 264
Vertes = 446 ; Rouges = 297 ; Bleues = 257

On est toujours relativement proche de la bonne répartition.

Bon alors Vassillia apporte de nouveaux éléments à la question qui me préoccupait message hier  18h27:

"Petite remarque au passage, en stats bayésienne, on calcule bel et bien des intervalles des crédibilité sur la distribution de probabilité à posteriori qui est obtenue en intégrant des informations à priori. Donc leur interprétation est qu'on obtient un intervalle qui a 95% de chances de contenir la moyenne théorique d'après les connaissances obtenues jusque là (il peut bien sûr être amené à changer en rajoutant une expérience ultérieure qui se servirait de la distribution de probabilité à posteriori comme information à priori). Cette interprétation n'est pas valable avec l'intervalle de confiance en stats fréquentistes même si elle est communément admise."

Et cela ne m'apporte pas de réponse par moi compréhensible.

Les refs de stats disent:
l'intervalle de confiance est construit pour dans 95% des cas avoir le paramètre ,
ici la moyenne de la population mu
dans cet intervalle
Et les bonnnes refs de stats disent comme le disait hier Vassillia, cela ne signifie pas  pour autant que mon intervalle de confiance a 95 chances sur 100  de contenir mu.

Ici Vassillia change et dit que c'est l'intervalle de crédibilité des bayesiens qui;
"intervalle qui a 95% de chances de contenir la moyenne théorique "

Ceci est très suprenant,
car c'est facile à programmer
à partir de mu
on prend des séries de 100 ou 1000
et on regarde, m1,m2, ...mi,...
en les encadrant avec la formule classique.: mi +- delta
Donc dans un sac de 1000 mi +- delta on peut facilement regarder le % des intervalles où on retrouvera mu.

C'est curieux.

J'avais déjà prévu de faire ce test.
Donc; d'abord je sors 100 mesure d'une quantité théorique, c'est à dire exacte égale à 125. Mais l'ordinateur ne le sait pas.
C'est la première courbe.
Puis je recommence 1000 fois et j'affiche le résultat des 1000 moyennes.

Code:

Les 100 mesures
Nombre = 100  Moyenne = 123.98  emq=7.47  ep=4.98
Médiane = 125  min= 106.00  max=140.08
Rapport Emq/Ema = 1.26 Théorique = 1.25
Classe 1  nb=  0  0.00%   théorique 0.35%    |
Classe 2  nb=  3  3.00%   théorique    2%    |HHH
Classe 3  nb=  7  7.00%   théorique    7%    |HHHHHHH
Classe 4  nb=  12 12.00%   théorique  16%    |HHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  24 24.00%   théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=  30 30.00%   théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  13 13.00%   théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  10 10.00%   théorique    7%    |HHHHHHHHHH
Classe 9  nb=  1  1.00%   théorique    2%    |H
Classe 10 nb=  0  0.00%   théorique 0.35%    |

Les 1000 moyennes
Nombre = 1000  Moyenne = 124.82  emq=0.72  ep=0.48
Médiane = 125  min= 122.62  max=128.26
Rapport Emq/Ema = 1.25 Théorique = 1.25
Classe 1  nb=  3  0.30%   théorique 0.35%    |H
Classe 2  nb=  13  1.30%   théorique    2%    |HH
Classe 3  nb=  82  8.20%   théorique    7%    |HHHHHHHHH
Classe 4  nb= 151 15.10%   théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 241 24.10%   théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 258 25.80%   théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 160 16.00%   théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  68  6.80%   théorique    7%    |HHHHHHH
Classe 9  nb=  21  2.10%   théorique    2%    |HHH
Classe 10 nb=  3  0.30%   théorique 0.35%    |H


Dis-moi si ça convient.

Bonsoir Pierre,
je n'ai pas bien compris ta construction.
Sinon ce que je proposais me semble montrer,
(ce serait l'intéret d'essayer, proposer, manipuler)
que le problème est pris à l'envers.
Hum intéressant, mais je manque encore de clarté et d'assise.

Je suis prêt à faire tous les tests et simulations que tu veux.
Pour être précis et rigoureux, la formule d'intervalle de confiance expliquée est mathématiquement exacte. Ce que j'essaye de dire, c'est que le problème à étudier et à comprendre n'est pas là.
On fait une expérience, on a une moyenne. Des calculs de "validité" de cette moyenne ne peuvent que fausser les décisions, pour la simple raison qu'elle déplace le centre du débat scientifique.
Petit détail en passant : quand je parle de la répartition normale, on me dit "c'est pas vrai" or toutes les explications sont basées sur la loi normale. C'est ce que j'appelle "déplacer le centre du débat". C'est pas grave dans le cadre de discussion sur un forum, c'est grave dans un contexte professionnel.

Bonjour Pierre,

"La meilleure façon de voir que l'on prend le problème à l'envers,
c'est de le poser sur la table."
c'est de Lao Beagle.
Donc hier soir j'ai vu que c'était à l'envers apres l'avoir posé.
Donc j'ai des idées de tests sympa dans l'autre sens.
Mais pour plus tard, et en révisant un peu , parce que
"Pour être précis et rigoureux, la formule d'intervalle de confiance expliquée est mathématiquement exacte. "
nécessite des éclaircissements tout de meme.

sur
"Ce que j'essaye de dire, c'est que le problème à étudier et à comprendre n'est pas là."
je ne suis pas convaincu que ton utilisation des stats soit la seule façon de traiter l'ensemble des problèmes.
Tu as souvent la réduction facile, "je ne connais pas ne sert à rien" (merci pour les autres)
et parfois "ce que je ne connais pas est faux".
Pour ce que tu maitrises c'est bien et intéressant.

Bonjour,


Soit on est en terrain connu, on connaît la loi (la moyenne et la variance) alors on peut faire nos calculs exactes pour savoir dans quel intervalle va varier notre échantillon et cela dans 95% des cas.

Soit certaines information sur la loi nous sont inconnues comme par exemple la moyenne, et on cherche à l'évaluer à partir d'un échantillon, et dans ce cas on n'a pas forcément un intervalle à 95%.


En effet prenons une loi de Bernouilli de paramétre p (inconnue). Soit X de loi B(n,p) une binomiale, n connue, alors on aurait P(|X-np|<1.96 sigma) =0.95 mais cela n'est vrai que si X s'approxime bien par une loi normale, ce qui n'est pas forcément le cas en effet on a des cas où la loi s'approxime mieux par une loi de Poisson et cela dépend de la valeur de np(1-p) est elle petite  ou grande ?


Bonne journée.

Bonjour Dattier,

En effet prenons une loi de Bernouilli de paramétre p (inconnue). Soit X de loi B(n,p) une binomiale, n connue, alors on aurait P(|X-np|<1.96 sigma) =0.95 mais cela n'est vrai que si X s'approxime bien par une loi normale, ce qui n'est pas forcément le cas en effet on a des cas où la loi s'approxime mieux par une loi de Poisson et cela dépend de la valeur de np(1-p) est elle petite ou grande ?

Je vais reformuler.
Prenons une expérience quelconque qui consiste à mesurer ou observer une chose ou un phénomène suivant le même protocole, c'est à dire suivant la même loi. Alors la répartition des écarts à la moyenne sera la répartition normale. Il n'y a aucune approximation.
Exemple : On répète 1000 fois l'opération qui consiste à mesurer 100 fois la même chose. Chaque opération ainsi décrite donnera une moyenne arithmétique. On dispose donc de 1000 moyennes arithmétiques. La répartition de ces 1000 moyennes est celle de la loi normale.
A la place de la moyenne, on aurait pu prendre l'écart-type ou je ne sais quoi d'autre, résultant de ces 1000 opérations indépendantes.
C'est d'ailleurs le but de la vidée indiquée par Beagle.
C'est l'application directe du TCL.

On peut lire des choses surprenantes sur les forums :

Je suis d'accord, c'est ce que j'ai évoqué plus haut en parlant d'"une méthode pour calculer des intervalles de manière à ce que 95% des intervalles construits de cette façon contiennent la moyenne théorique"
Mais tu m'accorderas, je pense, qu'on voit très très souvent que c'est l'intervalle qui a 95% de chances de contenir la moyenne théorique.

D'abord, c'est quoi la moyenne théorique ? Moi, je sais ce qu'on appelle généralement la moyenne vraie, valeur le plus souvent inconnue.
Comment calculerai-on "des intervalles" en faisant plusieurs expérience, c'est à dire en calculant plusieurs moyennes ? Pas très économique, me semble-t-il !
Sur le plan mathématique cette affirmation que l'intervalle de confiance se calcule à partir d'une expérience et qu'il est absolument rigoureux de dire que la valeur vraie de la moyenne de l'ensemble de la population concernée est comprise dans cet intervalle avec la probabilité de 95%. En d'autres termes, cet intervalle "de confiance" contient la valeur vraie.
Mais j'ajouterai que ce n'est pas sous prétexte que c'est mathématiquement vrai, qu'il faut utiliser cette méthode.