A propos des probabilités

Bonjour,
Dans le cadre de la création de ce forum, je continue des échanges initiés sur le forum dattier.yoo7.com.

Sylviel a écrit:"échanger". Je te donnes des définitions, références à l'appui (tiens deux autre :http://www.iro.umontreal.ca/~courvila/IFT6085/04_fr_properties_estimators.pdf http://iml.univ-mrs.fr/~reboul/cours5.pdf ) et tu continue de répèter les mêmes âneries. (On noteras que ces deux nouvelles références définissent un estimateur et un biais de la même manière, comme je l'ai fait plus haut, comme fait dans le cours de JF Delmas... et que ce n'est nullement un "mot valise mal défini").

Pour des exemples d'estimateurs qui ne sont pas la moyenne empirique : https://cermics.enpc.fr/~delmas/Enseig/ensta_exo.pdf exercices VIII3 q4 ou VIII4 p48 correction p 233. Toutes les définitions sont dans le livre associé, toutes les démonstrations également (ou dans la correction).

Prenons un exemple comparable : je te dis "une fonction polynomiale est une fonction telle qu'il existe une liste de nombre a_0, ... a_n et pour tout x réel on a f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n" et tu me dis "tu peux dire ce que tu veux, le seul polynome c'est ax^2+bx+x".

En fait, il y a deux approches possibles de la théorie des probabilités.
L'approche connue de nombreux matheux, basée sur la théorie des ensembles, presque exclusivement abstraite, elle est principalement basée sur l'axiomatique de Kolmogorov.
L'autre approche, résultant des travaux de Bernoulli, Laplace, Gauss, Lévy est fondée sur le réel et dont le moteur principal est le hasard.
Ces deux approches semblent incompatibles. La première parait surtout utile à la formation abstraite pour les étudiants, la seconde est indispensable dès qu'il s'agit de mesure, d'observation, d'analyse, de vérification etc. en gros tous les éléments nécessaires à la vie en société.

Il se trouve que cette dualité perturbe de nombreux étudiants. En effet, d'un côté on leur a appris des résultats et des méthodes de calcul, généralement au niveau lycée, ensuite, les seules "vérités" sont des notions abstraites sans aucun rapport avec les enseignements précédents.

Bonne journée.

Il semble que certains matheux spécialistes de probabilité ignorent l'existence de Kolmogorov. C'est assez inattendu.
Voir ce document : http://www.dlzlogic.com/aides/DocENtxt.pdf

J'ai regardé l'exercice VIII.7 du cours de JF Delmas. L'application avec la fraude est assez étonnante.
La loi géométrique, comme la loi exponentielle ont une définition bien précise. Soit un évènement, on sait qu'il va arriver, le cas souvent évoqué est la durée de vie d'un composant sans vieillissement. Soit M le temps médian de cette fonction. On prend un élément au hasard, il a une chance sur deux d'être claqué avant le temps M.
Lorsque le contrôleur repère un fraudeur, il arrête le contrôle. On n'est pas du tout dans le contexte de la loi exponentielle. S'il trouve un fraudeur en début de vérification, il y a une probabilité égale de trouer un autre fraudeur dans la file que celle de la trouver en début de file.
Par exemple, il y a 100 passager. S'il trouve 1 fraudeur parmi les 5 premier, la probabilité de la proportion de fraudeur est 20%. S'il trouve un fraudeur parmi les 50 premiers, la probabilité de fraudeur est 2%. On constate qu'on n'est pas du tout dans le contexte d'une loi exponentielle.

Bonjour,
Si on étudie en détail cet exercice, il n'est pas sans intérêt et mérite des commentaires..
Bien-sur, il n'a pas grand-chose à voir avec la loi exponentielle. Ce qui est trompeur, c'est que l'examen du nombre de non-fraudeur, avant d'en trouver un, suit effectivement une courbe exponentielle, puisque c'est l'apparition d'un certain évènement qui marque la fin de l'épreuve.
Donc, cette expérience est constituée de 40 épreuves indépendantes. Au total, les contrôleurs auront interrogée 1779 passagers et trouvé 40 fraudeurs. Le corrigé conclue que le pourcentage de fraudeurs est 40/1779 ~ 0.0225 soit 450 fraudeurs pour 20000 billets.
Par ailleurs, les 40 vérifications sont indépendantes puisqu'elles consistent à interroger un groupe pris au hasard, le nombre de clients de chaque groupe ne dépend que de la position du premier fraudeur rencontré dans la file. La moyenne arithmétique de la taille des groupes est 38.35 et un écart-type 45.25. D'après le postulat de la moyenne, sur 40 contrôles, le nombre passagers vérifiés est 40 x 38.25 = 1534, soit un pourcentage  40/1534 ~ 0.0260, c'est à dire 520 fraudeurs pour 20000 billets. Le calcul de l'intervalle de confiance est sans grand intérêt.

PS. Après contrôles, le pourcentage de fraudeur, d'après les valeurs observées serait plutôt de .0.018 %.
Conclusion, ce problème est intéressant et pas encore résolu.

Bonjour,
Finalement tout cela est bien compliqué, puisqu'il a des fautes à tous les niveaux.
D'abord, la somme des clients non fraudeurs vérifiés n'est pas 1779 comme indiqué dans le corrigé, mais 1534.
Les calculs faits avec cette valeur donnent on pourcentage de fraudeurs de 2.60%.
Si on fait une simulation avec ce pourcentage de 2.60%, la somme des clients non fraudeurs serait de 1219, au lieu de 1534.
Si on fait une simulation avec ce pourcentage de 1.80%, la somme des clients non fraudeurs serait de 1760, au lieu de 1534.
Si on fait une simulation avec ce pourcentage de 2.25%, la somme des clients non fraudeurs serait de 1413, au lieu de 1534.

En conclusion, la logique de la simulation faite par l'auteur est fausse, puisque il ne s'agit en aucun cas de loi exponentielle, les valeurs numériques ne sont pas homogènes, ce qui fait qu'on ne sait pas d'où viennent les résultats. Enfin, j'ai de sérieux doutes concernant le mode de calcul de l'intervalle de confiance.

On ne peut que déconseiller l'utilisation de ce cours.