Les matheux sont-ils ignares en probabilités ?

Bonjour et bon week-end de Pâques,
La question du titre semble saugrenue dans la mesure où la théorie des probabilités est une branche des mathématiques, a été initiée et développée par les matheux, et que les matheux en particulier français continuent de la faire progresser de nos jours, comme en témoigne le récent prix Abel décerné à Michel Talagrand.
Pourtant c'est une opinion que l'on entend souvent proférer sur ce forum. Dlzlogic, pour ne pas le nommer, raconte que ses enseignants lui disaient cela.  Les enseigants de Dlzlogic avaient été formés il y a un petit siècle, disons il y a 80 ans. Il est vrai qu'à cette époque, les probabilités n'étaient pas très "mainstream" chez les membres influents de la communauté mathématique française, en particulier dans le fameux groupe Bourbaki. Je cite Laurent Schwartz :
«  Bourbaki s'est écarté des probabilités, les a rejetées, les a considérées comme non rigoureuses et, par son influence considérable, a dirigé la jeunesse hors du sentier des probabilités. Il porte une lourde responsabilité, que je partage, dans le retard de leur développement en France, du moins pour tout ce qui concerne les processus, c'est-à-dire les développements modernes. »
Mais cette histoire date énormément ! Au contraire, les probabilités occupent maintenant une place centrale dans l'activité mathématique, à l'international comme en France. Comme témoignage de cette importance , outre le prix Abel de Michel Talagrand mentionné plus haut, je vais donner dans les quelques messages qui suivent quelques textes concernant l'agrégation externe de mathématiques.

Je commence par donner le chapitre du programme général de cette agrégation 2024 qui concerne les probabilités :

11 Probabilités et statistiques
11.1 Définition d'un espace probabilisé
Événements, tribus, mesure de probabilité. Indépendance d'événements et de tribus. Loi du 0-1 de Kolmogorov, lemmes de Borel-Cantelli. Probabilités conditionnelles. Formule des probabilités totales.
11.2 Variables aléatoires, loi d'une variable aléatoire
(a) Loi discrète, loi absolument continue. Fonction de répartition et densité. Loi conjointe de variables aléatoires, indépendance de variables aléatoires. Espérance d'une variable aléatoire à valeurs positives ou complexes, théorème de transfert, moments. Variance d'une variable aléatoire réelle.
Exemples de lois : loi de Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson, uniforme, exponentielle, de Gauss.
(b) Fonction caractéristique. Fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans N. Application aux sommes de variables aléatoires indépendantes.
11.3 Convergences de suites de variables aléatoires
(a) Convergence en probabilité, dans L^p, presque sûrement, en loi. Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, théorème de Lévy.
(b) Loi faible et loi forte des grands nombres. Théorème central limite.
11.4 Statistiques
(a) Statistiques descriptives univariées : indicateurs de position et indicateurs de dispersion. Représentations graphiques de données.
(b) Série statistique à deux variables quantitatives, nuage de points associé. Coefficient de corrélation. Droite de régression des moindres carrés.
(c) Estimation ponctuelle. Estimation par intervalle de confiance.

Pas mal, non ? Et il s'agit là du programme général, qui concerne tous les candidats. Le concours a aussi une épreuve à option, l'épreuve de modélisation, dont l'option A s'intitule "Probabilités et Statistiques". J'en parlerai dans les prochains messages. À suivre ...

Bonsoir Humx3.
Je réponds un peut tard, votre message m'avait échappé.
Je tiens à être très clair, au lieu de balancer des tas de trucs qui n'ont qu'un seul but que je connais, naturellement, il est indispensable que vous commenciez par préciser l' intérêt de toute cette théorie, je parle bien sûr de celle issue directement de la théorie des ensembles et de son utilisation dans l'axiomatique de Kolmogorov.
Donc avant de citer des programme d'agreg de maths, vous voudrez bien exposer de façon précise et détaillée votre perception de l'intérêt de l'étude des probablités, avec des exemples réels et les commentaires indispensables qui s'y rattachent et qui les justifient.

"Exemples de lois : loi de Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson, uniforme, exponentielle, de Gauss."
Je régis là, à chacun le doit de me contredire.
Lorsqu'on fait une expérience, le résultat dépend du hasard et seulement du hasard.
Prenons une expérience répétitive, toute chose égale par ailleurs, j'appelle quelque fois cette expérience de même protocole. Entre dans cette catégorie le tir sur cible, le jeu de pile ou face, le résultat d'une expérience compliquée, alors des quantités de telles expérience ont été faites et la répartition des résultats est toujours celle de la répartition normale, nommée dans le titre "loi de Gauss".
Il existe un autre type d'expérience appelée souvent "durée de vie". La différence avec le précédent contexte est que l'issue est un temps de non pas une dimension, en fait cela vient du fait que l'issue étant obtenue, l'expérience est terminée : la molécule est morte. Si on réitère un ensemble de tels résultats, alors on se retrouve dans la précédente situation.
Cela signifie, et c'est vraiment important, que toute expérience de mesure aléatoire de même protocole converge ver la moyenne et la répartition des écarts à cette moyenne est celle de la loi normale.
L'inégalité de Bienaymé est une inégalité fondamentale, son utilisation, à part des démonstrations, est obsolète.

J'en conclue que certains chapitres du programme de l'agrégation sont sans intérêt, voire faux, soit obsolète.
En matière d'étude des probabilités, seule compte l'application dans le monde réel observable.

Bonjour Dlzlogic et joyeuses Pâques,

Dlzlogic a écrit:Cela signifie, et c'est vraiment important, que toute expérience de mesure aléatoire de même protocole converge ver la moyenne et la répartition des écarts à cette moyenne est celle de la loi normale.

Je pense reconnaître là une formulation assez floue de la loi des grands nombres et du théorème central limite. Comme vous pouvez le constater, ces théorèmes figurent bien dans le programme de l'agrégation (11.3(b)). Et naturellement figurent dans ce programme les notions utiles à une formulation claire et précise de ces résultats : la notion de variable aléatoire, d'espérance et de variance de telles variables, d'indépendance, et les diverses notions de convergence.
Plutôt que la théorie des ensembles, c'est la théorie de la mesure de Borel et de Lebesgue qui est le le noyau de l'axiomatique de Kolmogorov., qui permet de donner un fondement solide aux résultats des initiateurs de la théorie des probabilités et de développer cette théorie dans de nombreuses directions.
Enfin, j'ai été assez étonné de votre sortie sur l'"obsolescence" de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Les résultats mathématiques ont une date de péremption ?
Trêve de discussions oiseuses. Je poursuis avec la description de l'option A, Probabilités et statistiques.

Voici tout d'abord le programme spécfique de l'option A pour l'épreuve orale de modélisation.

(a) Utilisation de lois usuelles (voir titre 11, ainsi que loi multinomiale, hypergéométrique, Gamma, du χ²) pour modéliser certains phénomènes aléatoires. Exemples : temps d'attente ou durée de vie, erreurs de mesure, sondages... Méthodes de simulation de variables aléatoires.
(b) Chaînes de Markov à espace d'états fini ou dénombrable. Propriétés de Markov faible et forte. Classification des états, transience, récurrence positive ou nulle. Communication entre états et irréductibilité. Mesure stationnaire (existence et unicité). Théorèmes de convergence : loi des grands nombres, apériodicité et convergence en loi. Exemple de la marche aléatoire simple.
(c) Construction du processus de Poisson sur R⁺ à partir de variables exponentielles. Indépendance,
stationnarité et loi des accroissements.
(d) Espérance conditionnelle, définition des (sur/sous-)martingales à temps discrets, temps d'arrêt. Exemples d'utilisation des théorèmes d'arrêt et de convergence presque sûre et L².
(e) Échantillons, moments empiriques, loi et fonction de répartition empiriques. Applications des théorèmes de convergences à l'estimation (lois des grands nombres, théorème central limite, utilisation du lemme de Slutsky). Dénition et construction d'intervalles de confiance. Estimation paramétrique. Estimation par maximum de vraisemblance : définition et exemples.
(f) Vecteurs gaussiens : définition, simulation, théorème de Cochran. Théorème central limite dans Rⁿ.
(g) Modèle linéaire gaussien : calculs par moindres carrés, régression linéaire, exemples d'utilisation.
(h) Tests paramétriques. Tests d'ajustement (tests du χ², tests de Kolmogorov-Smirnov). Exemples d'utilisation.

Bonjour Humx3,
J'ai lu beaucoup de cours du genre de celui dont vous donnez le programme.
Pour votre information tous les tests que ce cour explique n'ont qu'une source : la loi normale.
J'ai vu aussi que le liste contient "Modèle linéaire gaussien : calculs par moindres carrés, régression linéaire, exemples d'utilisation." C'est une question que je connais assez bien, chaque fois que j'en parle, on me répond "c'est pas vrai". Alors à ce propos, quelle est votre définition d'une régression linéaire ?

Concernant l'obsolescence de l'inégalité de Bienaymé :
http://www.dlzlogic.com/aides/DocENtxt.pdf
Bien-sûr c'est toujours vrai, mais ce n'est utile que dans le cadre de démonstration.

"Je pense reconnaître là une formulation assez floue de la loi des grands nombres et du théorème central limite. " Merci pour cette remarque tout à fait aimable.
Au passage, la "définition" de TCL est assez remarquable dans Wikipédia, on y parle de "somme". C'est interprété par quelques matheux comme une addition arithmétique.

Vous m'avez demandé des exemples d'applications, il est temps de vous y mettre aussi.

J'ai lu beaucoup de cours du genre de celui dont vous donnez le programme.

Dommage que vous n'en ayez pas retiré plus de connaissances.

Pour la régression linéaire, je ne ferai pas dans l'originalité : c'est expliqué dans beaucoup de références. Par exemple
https://perso.lpsm.paris/~aguyader/files/teaching/Regression.pdf

Pour ce qui est de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, il y a une partie tronquée dans votre texte qui le rend incompréhensible à certains endoits. Pour le texte complet voir
https://cache.media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/24/3/Probablites_17_03_08_maj2011_197243.pdf
Ça ne parle absolument pas d'obsolescence. Ça dit simplement, ce qui est parfaitement exact, que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est moins précise que les inégalités qu'on peut avoir pour une loi de probabilité particulière, comme par exemple la loi de Gauss. Mais justement ce qui fait l'intérêt de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev (ou de Markov) est qu'elle s'applique à n'importe quelle loi ayant les moments voulus, et donc permet de démontrer les théorèmes de convergence.

on y parle de "somme". C'est interprété par quelques matheux comme une addition arithmétique.

Tout le monde, sauf vous, voit bien qu'il s'agit effectivement d'une somme de variables aléatoires au sens addition. Voyez par exemple Paul Lévy :
Ce sont bien des + dans la définition de la variable X_n dont la loi de probabilité tend vers la loi de Gauss, n'est-ce pas ? Et +, ça note bien une addition, n'est-ce pas ?

Bon, je vais revenir à l'épreuve de modélisation de l'agrégation, ne vous déplaise.

L'épreuve orale de modélisation vise à  juger de la capacité de la candidate ou du candidat à reconnaître et mobiliser des notions et résultats dans un contexte applicatif transversal.
Les candidats travaillent à partir d'un texte qui leur est fourni. On peut trouver quelques exemples de textes ici :
https://agreg.org/index.php?id=option-a
Je note en particulier :

2022-A1 Ce texte présente la loi de Benford discrète et continue et quelques une de ses propriétés et caractérisations. Des pistes pouvant expliquer son origine sont proposées ainsi qu'un fichier de données 2022-A1-data permettant d'effectuer des tests statistiques d'adéquation en vue d'applications concrètes comme la détection de fraude par exemple.

Je cite aussi un paragraphe du rapport du jury de l'année dernière sur cette épreuve :

Il faut garder en tête que toute étude mathématique d'une situation réelle passe par une étape de modélisation, laquelle implique des choix d'outils et d'hypothèses mathématiques adaptés à l'étude. À titre d'exemple, il est ainsi apprécié de justifier la pertinence d'une hypothèse d'indépendance, du caractère markovien d'une suite de variables aléatoires ou encore du choix des lois de probabilité utilisées dans la modélisation. On pourra citer notamment la loi géométrique qui modélise un premier succès, la loi exponentielle qui reflète une absence de mémoire, la loi normale qui traduit une accumulation de petites erreurs indépendantes ou encore la loi de Poisson dans un contexte d'événements rares.
Naturellement, on appréciera que le candidat ou la candidate mène une réflexion critique et argumentée sur les diverses hypothèses du texte et propose éventuellement des améliorations rendant le modèle plus réaliste. Cette argumentation pourra reposer sur des illustrations informatiques ou des considérations mathématiques

Humx3 a écrit: Mais justement ce qui fait l'intérêt de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev (ou de Markov) est qu'elle s'applique à n'importe quelle loi ayant les moments voulus, et donc permet de démontrer les théorèmes de convergence.

Oui, à la simple nuance près que cette inégalité n'a de sens que dans le cas d'une expérience de loi uniforme (même loi ; même protocole) alors la loi du résultat est la loi normale.
J'ai à presque chacun de vos messages la confirmation que vous ignorer que pour n'importe quelle expérience de même loi, quelle que soit la loi, le résultat sera toujours conforme à la loi normale donc l'écart moyen quadratique méritera le sur-nom d'écart-type et l'inégalité de Bienaymé sera vraie.

J'airai aimé avoir votre avis personnel sur les régressions, pas grave, je vais me farcir les cours et donnerai mon avis.

Mais justement ce qui fait l'intérêt de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev (ou de Markov) est qu'elle s'applique à n'importe quelle loi ayant les moments voulus, et donc permet de démontrer les théorèmes de convergence.

Je crois qu'au niveau collège on sait distinguer une somme arithmétique d'une somme pondérée. Mais, c'est pas grave.

Oui, la loi de Benford est un sujet intéressant.
Par contre le rapport du jury est très critiquable.

Dlzlogic a écrit:Oui, à la simple nuance près que cette inégalité n'a de sens que dans le cas d'une expérience de loi uniforme (même loi ; même protocole) alors la loi du résultat est la loi normale.
J'ai à presque chacun de vos messages la confirmation que vous ignorer que pour n'importe quelle expérience de même loi, quelle que soit la loi, le résultat sera toujours conforme à la loi normale donc l'écart moyen quadratique méritera le sur-nom d'écart-type et l'inégalité de Bienaymé sera vraie.

Ce que vous écrivez là ne fait aucun sens. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique pour n'importe quelle loi qui a une espérance et une variance (pas pour la loi de Cauchy, par exemple, mais pour la loi de Poisson, la loi exponentielle etc.). Ensuite, vous formulez une version très approximative du théorème central limite sur les suites de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées.
La petite citation que j'ai faite de Paul Lévy est un théorème de convergence plus général que le théorème central limite standard. Vous pouvez prendre dans cet énoncé tous les m_i égaux à 1/n s'ils vous gênent. Vous voyez bien en tout cas que le signe + est bien celui d'une addition, contrairement à ce que vous prétendez.

Que critiquez-vous dans le rapport du jury ? C'est contraire à vos dogmes de tenir compte de la réalité d'une situation concrète ?

Ce qui me gène dans ce rapport, c'est de distinguer la loi géométrique et la loi exponentielle, mettre sur le même plan la loi normale et la loi de Poisson, laquelle est une simplification de la loi normale. Ces reproches sont habituels, je les répète à l'occasion, mais ça ne va pas plus loin.
La démarche qui consiste à chercher un modèle, des lois, etc. puis de vérifier, n'est pas pour moi une démarche sérieuse.
Dans ce type de préoccupation, le but est de trouver une "formule" ou un ensemble de formules qu'on peut appeler "modèle" à partir d'un ensemble d'observations réelles. Bien-sûr on devra vérifier l'indépendance.
J'ai un excellent exemple à cette méthode. Il se trouve que les documents utilisés par les pilotes du Concorde sont des abaques et des règles graphiques. Pour un certain nombre de raisons, on a souhaité numériser tout cela. Il n'était naturellement pas question de chercher des "modèles". Alors qu'aurait fait un candidat à l'agrégation de maths ?

D'accord, pour vous ce n'est pas sérieux de chercher à avoir un modèle mathématique adapté à une situation concrète. Il vaut beaucoup mieux s'en tenir à des dogmes immuables, sans tenir compte de la réalité.

A vous lire, on choisi un modèle de façon théorique, c'est votre droit. Moi je préfère l'établir d'après la réalité, ça s'appelle les méthodes de régression.
Moi, je peux critiquer une méthode ou une technique quand je la connais et que j'ai des arguments. Vous, vous préférez critiquez une théorie pour le seul motif que vous ne la connaissez pas. Chacun fait comme il peut.

Vous me lisez très mal, et vous lisez très mal le rapport du jury. Il s'agit justement de choisir un modèle mathématique suivant la réalité. Dans certains cas, ça passe par une méthode de régression pour établir une formule quand on a récolté un certain nombre de données. Mais c'est trop restrictif de penser que c'est toujours le cas. Ça peut être le choix d'un type de loi en fonction du problème concret étudié, et l'estimation des paramètres de cette loi en fonction des données collectées. Voir les points (e) et (h) de l'épreuve de modélisation.

Bonjour,
J'ai terminé la lecture du cours "Régressions". J'avoue que j'espérais quelque-chose de plus structuré et plus complet pour un cours de préparation à l'agrégation.
Il y a quelques années j'ai écrit un papier à ce sujet.
http://www.dlzlogic.com/aides/Regres_lineaire.pdf

Bonjour,
D'abord il ne s'agit pas d'un cours de préparation à l'agrégation, mais peu importe.
Je trouve votre appréciation, ainsi que votre texte d'une page, un peu légers.
Le cours que j'ai mis en lien montre en particulier le caractère optimal des moindres carrés (théorème de Gauss-Markov).

D'abord le caractère optimal de la méthode des moindre carrés est très controversée par certains matheux. Il se trouve que c'est une conséquence directe de la théorie des probabilités que je tente d'expliquer depuis des années. Et je n'ai pas vu dans ce cours d'explication argumentée et crédible par un étudiant.
Oui, mon papier sur la régression est assez léger, mais je soutiens qu'il suffit à un étudiant pour résoudre la plupart des problèmes mettant cela en œuvre. Par ailleurs, je précise la méthode de changement de variable et la caractéristique "linéaire" des régressions, qui n'a rien à voir avec "droite des moindres carrés".

Dlzlogic a écrit:Et je n'ai pas vu dans ce cours d'explication argumentée et crédible par un étudiant.

Ce qui prouve que vous n'avez pas vraiment compris ce cours. Je faisais référence pourtant au théorème de Gauss-Markov (théorèmes 3 page 6 et 5 page 34). Je ne prétends pas que ça soit "argumenté et crédible" pour vous, mais ça l'est pour un étudiant en master de statistiques.

Je pense que ces affirmations ne sont comprises que si on connait le postulat de la moyenne.

C'est vrai, j'oubliais qu'on est le 1er avril !

Conclusion, vous ne connaissez pas le postulat de la moyenne. Et les étudiants en master, ils le connaissent ?

Ah bon, votre intervention n'était pas un poisson d'avril ?

Ben non, c'est tout de même la base de la théorie des probabilité.