Les matheux sont-ils ignares en probabilités ?

Alors, pour rester dans la veine du théorème de Gauss-Markov, disons que la moyenne arithmétique est l'estimateur linéaire sans biais de l'espérance qui a la plus petite variance. Ce qui montre son optimalité.
Ça vous convient ?

Oh, moi, je sais très bien ce que fait la méthode des moindres carrés et depuis une bonne cinquantaine d'années, mais c'est souvent contesté.

Vous ne m'avez pas répondu : est-ce que ma formulation du "postulat de la moyenne" vous convient ?

Ben non, absolument pas, c'est beaucoup plus fondamental.

Je vois que vous n'avez pas compris.
Ma formulation est précise et démontrable, je vais essayer de vous l'expliquer.
On mesure une grandeur, plusieurs fois avec le même appareil de mesure ou avec des appareils ayant des caractéristiques identiques. Le résultat de la i-ème mesure est x_i =  x₀ +e_i où x₀ est la vraie valeur de la grandeur et e_i l'erreur accidentelle qu'on peut supposer distribuée selon une loi normale centrée.
En quoi est-ce que la moyenne arithmétique des x_i est la meilleure estimation de x₀ ? Pourquoi est-ce qu'une moyenne pondérée avec des poids 1, 2, 3 ne ferait pas aussi bien l'affaire ?
Maintenant changeons un peu la scène. Au lieu de mesurer plusieurs fois avec le même instrument, on mesure avec des instruments différents, dont la notice pour le i-ème instrument indique un écart-type de σ_i. Est-ce que la moyenne arithmétique des x_i est encore la meilleure estimation de x₀ ? Sinon, quelle pondération faut-il prendre pour faire la moyenne des x_i ? Et pourquoi ?
Je pense que la réponse à ces questions, y compris au pourquoi (preuve mathématique à l'appui), c'est ça le fondamental.

Je vous laisse y réfléchir, je reviendrai demain.

Bon, vous n'avez aucune idée de ce qu'est la théorie des probabilités.
Alors restez couché et dormez bien.
En gros, cessez de dire n'importe quoi, ça devient fatiguant.
C'est marrant, parler de la loi normale pour justifier le postulat de la moyenne, au collège, on appelle ça "mettre la charrue avant les bœufs".
Je sais bien que les matheux ne comprennent rien à la théorie de probabilités, alors admettez ce fait ou essayez de comprendre, sinon, vous êtes vraiment ridicule.

Bonjour Dlzlogic,
S'il vous plait, calmez-vous. L'insulte n'est pas un argument valable.
Ce forum est-il fait pour discuter tranquillement de problèmes scientifiques ou pour que vous déversiez votre bile sur les mathématiques et les matheux ?

Reprenons la discussion scientifique.
Vous avez mis sur le tapis le "postulat de la moyenne". Je vous ai posé une question sur ce sujet. Pouvez-vous y répondre, s'il vous plait ?
On veut déterminer une grandeur. Pour cela on dispose de trois mesures x₁, x₂, x₃ faites avec un appareil A et de sept mesures x₄ à x₁₀ faites avec un appareil B. On s'est assuré que ces mesures sont sans biais, sans erreur systématique. La notice de l'appareil A stipule que dans les conditions où il a été employé, l'écart type est 1, pour l'appareil B l'écart-type est 2.
Est-ce que la moyenne arithmétique des 10 mesures est la meilleure estimation de la grandeur ?
Sinon, comment choisir les poids d'une moyenne pondérée pour obtenir la meilleure estimation ? Pourquoi ?
Merci de me donner votre avis éclairé sur ces questions.

Bonjour Humx3,
Oui, ce forum est fait pour discutes tranquillement de problèmes scientifiques.
J'ai quelques spécialités et une expérience professionnelle.
Parmi mes spécialités, il y a les probabilités, pas celles qu'on enseigne au niveau scolaire, mais celles dont on se sert au niveau professionnel. Je sais que les matheux ne connaissent pas ces dernières, alors quand l'occasion ce présente, j'essaye d'expliquer ces notions fondamentales.
Alors, vous pensez bien que quand vous me prêcher de "bon savoir", c'est un peu déplacé.

A titre d'exemple : vous n'avez probablement jamais entendu parler, comme d'autres matheux, du postulat de la moyenne. En général ils me répondent "qu'est ce que c'est ?", vous par contre, inventez de toute pièce une définition. Admettez que c'est comique.

Votre question est amusante. Pour votre information elle n'a aucun rapport avec le postulat de la moyenne.

Votre postulat de la moyenne ne dit-il pas que quand on a 10 mesures d'une même grandeur, la meilleure estimation de cette grandeur (la valeur la plus probable) est la moyenne arithmétique de ces 10 mesures ?

Bon, je pense qu'on s'est assez amusé.

Je suis frustré, je n'ai pas eu de réponse.
Votre postulat de la moyenne ne dit-il pas que quand on a 10 mesures d'une même grandeur, la meilleure estimation de cette grandeur (la valeur la plus probable) est la moyenne arithmétique de ces 10 mesures ?
Si j'ai mal formulé ce "postulat de la moyenne", pouvez-vous m'en donner la formulation exacte ?

Je suis allé voir votre fameux texte "Notions de probabilités", et j'y ai trouve :

On appelle "Postulat de la moyenne" la certitude que la moyenne arithmétique des mesures observées est une valeur très proche de la mesure recherchée, étant donné l'ensemble des éléments dont on dispose

Je trouve donc que ma question est tout à fait pertinente à propos de ce postulat de la moyenne

On veut déterminer une grandeur. Pour cela on dispose de trois mesures x₁, x₂, x₃ faites avec un appareil A et de sept mesures x₄ à x₁₀ faites avec un appareil B. On s'est assuré que ces mesures sont sans biais, sans erreur systématique. La notice de l'appareil A stipule que dans les conditions où il a été employé, l'écart type est 1, pour l'appareil B l'écart-type est 2.
Est-ce que la moyenne arithmétique des 10 mesures est la meilleure estimation de la grandeur ?
Sinon, comment choisir les poids d'une moyenne pondérée pour obtenir la meilleure estimation ? Pourquoi ?

La moyenne arithmétique dans ce cas n'est pas la meilleure estimation. En effet, la moyenne arithmétique va présenter un écart type de 0,56. La bonne estimation s'obtient en faisant la moyenne pondérée avec poids 1 pour les mesures A et poids 1/4 pour les mesures B. L'écart-type est alors de 0,46. La démonstration du fait que ces poids réalisent la meilleure estimation, celle avec le plus petit écart-type, est une application facile de la célèbre inégalité de Cauchy-Schwarz.
Dans le cas où toutes les mesures sont réalisées avec le même écart-type, cette même utilisation de Cauchy-Schwarz montre que c'est effectivement la moyenne arithmétique qui réalise le pus petit écart-type.

Ben oui, et alors ?
Et encore une fois, vous mettez la charrue avant les bœufs. Comment voulez-vous calculer l'écart-type si vous n'avez pas encore calculé la moyenne ?

Ah bon, vous ne savez pas calculer l'écart type d'une moyenne de mesures indépendantes en connaissant les écarts-type de chaque mesure ?
Je vous rappelle que si l'écart-type sur chaque mesure x_i est σ_i, alors l'écart-type sur la moyenne pondérée (Σa_ix_i) / Σa_i est (Σa_i²σ_i²)^1/2 / |Σa_i|.
Mais peut-être n'avez vous pas lu que

La notice de l'appareil A stipule que dans les conditions où il a été employé, l'écart type est 1, pour l'appareil B l'écart-type est 2.

Bonne nuit !

Oui, manifestement vous faites une fixation sur l'écart-type. Moi, je sais très bien ce que c'est, je ne suis pas sûr que ce soit très clair pour vous.
Il me semble qu'avant d'étudier une expérience avec plusieurs appareils d'écart-type différents, il vaut mieux que ce soit clair avec un seul appareil.

Bonjour Dlzlogic,

Moi, je sais très bien ce que c'est, je ne suis pas sûr que ce soit très clair pour vous.

"Moi je sais, vous n'y connaissez rien", un peu faible comme argument scientifique, n'est-ce pas ?

il vaut mieux que ce soit clair avec un seul appareil.

Décidément, vous ne lisez pas mes messages. J'ai écrit que quand il y a un seul appareil, c'est bien la moyenne arithmétique qui réalise la meilleure estimation, celle avec le plus petit écart type, parmi toutes les moyennes pondérées ; c'est une conséquence de Cauchy-Schwarz.

Bonjour,
Si vous me disiez tranquillement et simplement où vous voulez en venir, on pourrait peut-être essayer de se comprendre.
Je vous propose 2 tests très simples
1- examiner la répartition d'apparition de nombres formés par les groupes de 7 issues successives de pile ou face
2- faire le test de la même façon qu'avec celui de Cauchy mais avec une loi exponentielle.
Là on a comme expérience une loi continue et une loi exponentielle.

Pour l'utilité de l'écart-type, c'est une autre histoire.

Concernant la puissance de vous arguments scientifiques, j'ai bien observé votre interprétation du problème de la corde de Bertrand. Il n'y a qu'une seule façon de définir une corde au hasard sur un cercle, ça c'est l'énoncé, on peut inventer des tas de façon de calculer tout ce qu'on veut, ça c'est l'interprétation.

Vous tentez de nouvelles diversions sans intérêt.
Désolé, permettez moi d'arrêter là.
Où je voulais en venir ? Simplement expliquer mon affirmation :

la moyenne arithmétique est l'estimateur linéaire sans biais de l'espérance qui a la plus petite variance. Ce qui montre son optimalité.

Voila, c'est fait. Et dans le cas où les mesures réalisées  x_i ont des écart-types σ_i différents, l'estimateur linéaire sans biais de la vraie quantité qui a la plus petite variance est la moyenne pondérée par les poids 1/σ_i².