Lois sans mémoire et les autres.

Ce sujet a déjà été évoqué.
On peut y voir les simulations nécessaires.
C'est un sujet qui ne date pas de la veille, j'en ai déjà entendu de toutes les couleurs.

Pourquoi ne faites vous pas la simulation ?
je l'ai faite, et je peux vous en montrer les résultats. Ils confirment parfaitement ce que j'ai démontré plus haut.

https://dlz9.forumactif.com/t969-l-histoire-de-la-caissiere
J'avais oublié de copier le lien

GBZM avait déjà bien montré dans ce fil qui ne s'agit pas d'une loi sans mémoire :
https://dlz9.forumactif.com/t969-l-histoire-de-la-caissiere#12547

GBZM a écrit:Donnons quelques valeurs :
au moins 20 clients : 49,7%
au moins 40 clients : 36,4%
au moins 50 clients : 32,8%
au moins 100 clients : 23,6%

Au moins 20 clients : 49,7%
Au moins 20 clients supplémentaires si on en a déjà eu 20 : 36,4%/49,7% = 73,2% bien différent de 49,7% !
Au moins 50 clients : 32,8%
Au moins 50 clients supplémentaires si on en a déjà eu 50 : 23,6%/32,8% = 72% bien différent de 32,8%

La loi de durée de vie de la caisse n'est pas une loi sans mémoire, c'est archi-prouvé malgré vos dénégations.

Je montrerai plus tard la simulation qui confirme tous ces résultats. Là, je vais profiter du beau temps pour me promener.

Ben, c'est parfait.

Voila, très belle promenade.

Voici comme promis le code python de la simulation que j'ai commenté à votre intention et à celle des autres lectrices et lecteurs.

Code:

import random as rd

def clients(dep,n) :
    # dep est le nombre de billets de 5€ au départ
    caisse = dep
    # clt est le compteur de clients
    clts = 0
    # on continue tant que le nombre de billets de 5€
    # dans la caisse est >=0 et que le nombre de clients
    # est <= 2*n
    while caisse >=0 and clts <= 2*n :
        # on ajoute ou on retranche à la caisse un billet de 5€
        # avec proba 1/2
        caisse += 2*rd.randrange(2)-1
        # on comptabilise le client si la caisse
        # n'est pas en défaut (valeur <0)
        if caisse >=0 :
            clts += 1
    # on retourne le nombre de clients
    # (les résultats > 2*n sont regroupés)
    return clts

def stats_clients(dep,n,p) :
    # res est la liste du nombre d'expériences où
    # le nombre de clients est <n, au moins égal à n et
    # strictement plus petit que 2*n, au moins égal à 2*n
    res = 3*[0]
    # on fait les p expériences,
    # et on range le résultat dans la bonne case
    for _ in range(p) :
        res[clients(dep,n)//n] += 1
    # on affiche
    print("Pour {0} expériences avec {7} billet(s) de 5€ au départ\n\
    moins de {1} clients : {3:.1%}\n\
    au moins {1} clients : {4:.1%}\n\
    au moins {2} clients : {5:.1%}\n\
    au moins {1} clients supplémentaires si déjà {1} clients : {6:.1%}".\
         format(p,n,2*n,res[0]/p,\
                (res[1]+res[2])/p,res[2]/p,res[2]/(res[1]+res[2]),dep))

Déjà, je vérifie les résultats que j'ai annoncés (1 billet au départ, au moins 10 et au moins 20 clients

Code:

stats_clients(1,10,100000)

Pour 100000 expériences avec 1 billet(s) de 5€ au départ
   moins de 10 clients : 55.2%
   au moins 10 clients : 44.8%
   au moins 20 clients : 33.4%
   au moins 10 clients supplémentaires si déjà 10 clients : 74.5%

Le calcul théorique donnait

HumHumHUm a écrit:Application numérique :
- pour n=5, la probabilité que la caissière puisse servir au moins 10 clients est 45,1%
- pour n=10, la probabilité que la caissière puisse servir au moins 20 clients est 33,6%
- la probabilité que la caissière qui a déjà servi 10 clients puisse en servir au moins 10 supplémentaires est donc 33,6% / 45,1% = 74,6%, beaucoup plus que la probabilité au départ de servir au moins 10 clients.

Parfait, n'est-ce pas ?

On peut même se payer le luxe de vérifier les résultats théoriques de GBZM. Il commence avec 2 billets en caisse.

Code:

stats_clients(2,20,100000)

Pour 100000 expériences avec 2 billet(s) de 5€ au départ
   moins de 20 clients : 50.4%
   au moins 20 clients : 49.6%
   au moins 40 clients : 36.4%
   au moins 20 clients supplémentaires si déjà 20 clients : 73.4%

Code:

stats_clients(2,50,100000)

Pour 100000 expériences avec 2 billet(s) de 5€ au départ
   moins de 50 clients : 67.0%
   au moins 50 clients : 33.0%
   au moins 100 clients : 23.8%
   au moins 50 clients supplémentaires si déjà 50 clients : 72.1%

Pour rappel, GBZM annonçait :

GBZM a écrit:au moins 20 clients : 49,7%
au moins 40 clients : 36,4%
au moins 50 clients : 32,8%
au moins 100 clients : 23,6%

Toujours parfait, n'est-ce pas ?

Comme quoi les probas faites sérieusement, comme il se doit à une branche des mathématiques, ce n'est pas flou, ce n'est pas comme on veut, ce n'est pas du pipeau. C'est correct, précis et vérifiable.

Parfait.
Oui, c'est très intéressant, c'est une nouvelle théorie des probabilités.
On a eu celle de Gauss que certains retardataires utilisent encore, puis il y a eu celle de Kolmogorov qui a remis les compteurs à zéro en particulier en posant comme axiome des choses démontrées dans la vieille théorie. Maintenant on a celle de Désiré qui donne une alternative à la loi des grands nombres.
Tout ça est fort intéressant, on n'arrête pas le progrès.

Oui, Désiré André est un petit jeune qui chamboule toutes les mathématiques
C'est tout ce que vous avez à dire ?

Depuis le début de ce fil, je rectifie des erreurs en donnant des énoncés et des résultats précis et vérifiables, en faisant les simulations qui les vérifient. En particulier j'ai démontré et vérifié que le "temps de vie de la caissière de cinéma" n'a pas une loi sans mémoire.
Et vous ?

Oh oui, continuez, ça devient divertissant.

Bonjour Dlzlogic,

Oui, c'est divertissant : vous avez agrémenté votre rengaine sur Kolmogorov d'un nouveau couplet bien loufoque sur Désiré André.

Mais revenons au caractère sans mémoire des suites de tirages à pile ou face, qui semble vous turlupiner. Le temps passé pour voir le premier pile (pile =mort) est effectivement l'exemple paradigmatique d'une durée de vie qui obéit à une loi sans mémoire (comme pour tout schéma de Bernoulli).
La probabilité de faire au moins 3 tirages sans voir pile est 1/8.
La probabilité de faire au moins 6 tirages sans voir pile est 1/64.
La probabilité, quand on a fait trois tirages sans voir pile, d'en faire 3 supplémentaires sans voir pile est donc (1/64) / (1/8 ) = 1/8, exactement la même que la probabilité de faire 3 tirages sans voir pile au début.
Je pense qu'il n'y a pas besoin de simulation pour vous convaincre de ce fait ; c'est une conséquence immédiate de l'équiprobabilité des suites de tirages.
Le temps passé pour voir le premier pile suit une loi sans mémoire, précisément une loi géométrique. Les résultats passés n'interviennent absolument pas dans la prévision des résultats futurs.

Bonjour Humx3

Oui, votre explication est très claire, simplement elle implique que la loi des grands nombres n'existe pas, ou que c'est un autre chapitre des probabilités ou je ne sais quoi d'autre.
C'est évidemment très intéressant, surtout pour montrer aux étudiant qu'il y a suffisamment d'astuces en maths pour démontrer tout ce qu'on veut.
Exemple typique : Bernoulli croyait que au jeu de pile ou face, il fallait tenir compte dans tous les cas de la loi des grands nombres, vous montrez avec brio que ce n'était pas obligatoire.

Je pense que le sujet sur la loi sans mémoire est terminé.
Dans mon prochain message, je vais parle des lois avec mémoire, et essayer d'expliquer où se trouve la mémoire.

Maintenant les lois avec mémoire.
Contrairement aux loi sans mémoire où l'élément déclencheur est indépendant de la variable considérée, les lois avec mémoire sont basées sur la loi des grands nombres qui est une conséquence du postulat de la moyenne.
L'exemple le plus souvent utilisé est celui du tir sur cible. Pour une raison que j'ignore, cet exemple n'est pas tellement apprécié des matheux. Alors je vais prendre l'exemple du GPS.
Je rappelle le principe. Un GPS, sur terre peut mesurer sa distance D avec un satellite. On détermine ainsi une sphère centrée sur le satellite de rayon D. Le GPS est donc situé sur la sphère. Trois sphères ont un point commun qui est le GPS.
Pour un certain nombre de raisons il faut au moins 4 satellites. Il y a donc des mesures en sur-nombre. La théorie des erreurs permet de calculer la valeur la plus probable. Pour d'autres raisons on effectue un grand nombre de mesures ce qui donne un grand nombre de positions pour le GPS.
Suivant ces indications, on a une valeur de position du GPS, inconnue, que l'on appelle "valeur vraie". Les différents calculs ont produit une liste de positions.
J'ai essayé de situer le problème de la façon la plus précise possible.
A suivre.

Vous essayez surtout une nouvelle fois de faire une diversion ave cette histoire de GPS qui n'a rien à voir avec les lois de probabilité sans ou avec mémoire.
Vous répétez toujours la même erreur de prétendre que l'équiprobabilité des suites de tirages à pile ou face impliquerait que "la loi des grands nombres n'existe pas". C'est bien sûr complètement faux, toutes les études sur les suites de tirages à pile ou face, de tous les grands fondateurs de la théorie des probabilités, supposent toujours cette équiprobabilité. Et c'est sur cette base de l'équiprobabilité des suites de tirages à pile ou face que l'on montre justement que la fréquence des piles tend vers 1/2 quand le nombre de tirages tend vers l'infini. Vos histoires de rattrapage, vos histoires que "les résultats passés seront à prendre en compte concernant la prévision des résultats futurs" ne sont que des fantasmes.

Bon, une petite anecdote.
Il n'y a pas très longtemps, mon fils m'appelle, parce que son fils (15 ans) avait un problème de probabilités. En gros et de mémoire, un très grand nombre de boules noir et rouges dans une urne en quantité égale. Bref, c'est exactement le problème du rattrapage du retard avec une présentation différente.
Pour lui, cela ne faisait aucun doute : la loi des grands nombres prime sur la capacité de la pièce de savoir qu'elle a une chance sur 2 de faire pile.
Il faut bien distinguer le coup suivant qui est mineur et ponctuel et l'expérience qui comprend un grand nombre de coups.
Je crois que votre problème est simplement que votre seule préoccupation est de trouver les mots pour me contredire au lieu d'essayer de réfléchir une seconde pour comprendre que la théorie des probabilité dépasse largement les notions exactes de l'analyse combinatoire et qu'il y a aussi une variable fondamentale et incontestable dans le monde réel observable, c'est le hasard.

Par ailleurs, si ce que vous appelez "vos histoires" n'étaient pas vraies, le chapitre des probabilités et tous les chapitre qui en découlent, par exemple la statistique, n'existeraient pas.

Le hasard, pour vous, ce n'est pas l'équiprobabilité des suites des tirages à pile ou face ?
Cette equiprobabilité entraîne à la fois la loi des grands nombres pour ces suites de tirages (la fréquence de pile tend vers 1/2 quand le nombre de tirages tend vers l'infini) ET le fait que le fait que les résultats passés n'interviennent absolument pas dans la prévision des résultats futurs. Quelle que soit l'histoire des 100 premiers tirages, même si pile mène avec au moins 10 points d'écart à l'issue de ces 100 premiers tirages, les 2¹⁰⁰ suites de tirages suivants possibles sont toujours équiprobables et donc l'espérance du nombre de piles au cours de ces 100 tirages suivants est toujours exactement de 50.

Pour information, le titre "Loi sans mémoire et les autres" implique qu'i y a les autres. Ce sont celles là qui sont importantes et c'était le but de ce fil.
Donc, ce n'est en aucun cas une diversion, disons que l'introduction était plus longue que prévu.
A force de dire et répéter "C'est pas vrai", vous avez perdu votre capacité d'écoute.

Comme vous l'avez remarqué, j'ai écrit une affirmation précise et vérifiable :

HumHumHum a écrit:Quelle que soit l'histoire des 100 premiers tirages, même si pile mène avec au moins 10 points d'écart à l'issue de ces 100 premiers tirages, les 2¹⁰⁰ suites de tirages suivants possibles sont toujours équiprobables et donc l'espérance du nombre de piles au cours de ces 100 tirages suivants est toujours exactement de 50.

J'affirme de façon vérifiable qu'il n'y a pas rattrapage et que les résultats précédents n'ont aucune influence sur les résultats futurs.

Bon, affirmez tout ce que vous voudrez, sauf que vous avez des notions élémentaires concernant les probabilités. Vous répétez seulement une leçon apprise en seconde. .

Vous esquivez.

HumHumHum a écrit:Quelle que soit l'histoire des 100 premiers tirages, même si pile mène avec au moins 10 points d'écart à l'issue de ces 100 premiers tirages, les 2¹⁰⁰ suites de tirages suivants possibles sont toujours équiprobables et donc l'espérance du nombre de piles au cours de ces 100 tirages suivants est toujours exactement de 50.

Vrai ou faux ? Seriez-vous embarrassé pour répondre à une question aussi simple ?

Oh, je sais que c'est effectivement difficile à comprendre, j'ai mis pas mal de temps à y arriver. De par mes cours, je savais que c'était vrai.
Donc le principe est simple : de par la loi des grands nombres à toute étape l'équilibre de pile et face tend vers l'égalité. C'est l'expression "tend vers" qui est un peu difficile à comprendre. Les matheux utilisent plutôt l'expression "converge". En termes mathématiques cela sous-entend une fonction convergente. La nature est un peu plus compliqué que cela. En termes plus imagés, la pièce sait qu'elle doit converger, mais c'est pas sûr qu'elle y arrive à chaque fois, la preuve est que le nombre de pile, à un instant précis, est supérieur au nombre de face, alors que la pièce qui a bien appris sont cours sait qu'elle doit tomber alternativement une fois sur pile, une fois sur face. Ben oui, elle réussit pas son coup à chaque fois.
La loi des grands nombres, c'est à dire le premier théorème de Bernoulli, précise que l'expérience résultant d'un grand nombre tend vers la probabilité. La pièce ne le sait pas, mais c'est un phénomène du monde réel observable. Ce théorème est démontré. Donc étant donné que au jeu de pile ou face la probabilité est 1/2, on peut être sûr que le résultat va tendre vers l'équilibre. Que va faire la pièce, elle a entendu parler de la loi des grands nombres par sa cousine, alors elle va faire son possible pour satisfaire ce théorème.

Cette explication est toute aussi valable que vos questions et affirmations parfaitement insultantes.

Il y a longtemps que je retiens cette comparaison. Je pense que votre niveau est approximativement celui de la seconde, c'est à dire celui des certitudes, alors que pensez vous de l'affirmation i²=-1 ?

"En gros et de mémoire, un très grand nombre de boules noir et rouges dans une urne en quantité égale."

Soit on a un problème avec remise,
et alors mettre un grand nombre de boules en quantité égale est stupide.,

soit on a un problème sans remise, problème sans remise il est évident que le passé influe sur le futur.

Il a eu combien à son problème avec tes conseils Pierre?

Bonsoir Beagle,
J'essaye d'expliquer quelque-chose que Hum ne connait pas, le phénomène de hasard du monde réel observable, alors l'interprétation d'exercice typique me parait un hors-sujet. Quand on parle de "très grand-nombre" on sous-entend un nombre infini, alors évoquer "avec ou sans" remise me parait un peu mesquin.
D'ailleurs, j'avais déjà évoqué ce problème avec toi, souviens-toi, il y avait un déséquilibre de 20%. Ce que je voulais commenter, c'est simplement que mon fils, pas du tout matheux, mais qui sait réfléchir, a compris ce que signifie la loi des grands nombre, par rapport au "coup suivant".