Contre-exemple Concepts et Théories : quel est le rapport ?

Salut,


Avant le 18 e siècle, en occident, il n'existait pas de fonction continue et nulle part dérivable.

Avant le 16 e siécle, en occident, la premiére proposition d'Euclide n'avait pas de contre-exemple.

Il faut attendre le 19e et l'introduction des séries, en occident, pour que Wieirtrass puisse proposer un contre exemple : une fonction continue et nulle part dérivable...

Il faut attendre le 17e avec l'introduction des produits dimensionnelles (dit Cartésien) pour que le contre-exemple du plan rationnelle soit envisageable, en occident, et contre exemple au premier résultat d'Euclide.

Ainsi chaque fois que l'on introduit un concept nouveau, une construction nouvelle, c'est potentiellement des théorèmes qui peuvent devenir faux, en effet des contre-exemples deviennent envisageable, avec ces nouveaux outils.

Cordialement.

Oui, j'ai un contre-exemple qu'on m'a opposé : la loi de Cauchy en probabilité.
Alors, je détaille. En théorie des probabilités (celle qu'on utilise) il existe la loi des grands nombres qui dit que la moyenne tend vers la probabilité. Ceci est utilisé par toutes les professions qui utilisent de près ou de loin la théorie des probabilités, par exemple les statisticiens.
Suivant une théorie moderne, on a trouvé un contre-exemple : la loi de Cauchy n'admet pas de moyenne. Donc, les étudiants retiennent : si on fait une expérience suivant la loi de Cauchy, alors la loi des grands nombres n'est plus vraie. Et par extension, la loi des grands nombres n'est pas toujours vraie.
Cherchez l'erreur.

Bonsoir,

Up.

Oui, je confirme mon dernier message.
Le contre-exemple de la loi de Cauchy est une arnaque grave des mathématiciens. Ceux qui l'évoquent, comme S. devraient être rayés des cadres.
Il y a eu plusieurs échanges avec d'autres à ce sujet et je maintiens fermement ce que j'ai écrit.

Bonjour,
Deux remarques :
1°) À propos de ce qu'écrit Dattier :

chaque fois que l'on introduit un concept nouveau, une construction nouvelle, c'est potentiellement des théorèmes qui peuvent devenir faux

Je ne dirais pas cela. Il n'y avait pas de théorème disant que toute fonction continue est dérivable presque partout, par exemple. La mise au clair des notions de fonctions, de continuité, de dérivabilité, le développement de l'analyse au 19e siècle a permis la construction de fonctions continues nulle part dérivables, mais ça n'invalide pas des théorèmes précédents.
2°) À propos de ce qu'écrit Dlzlogic :

Le contre-exemple de la loi de Cauchy est une arnaque grave des mathématiciens. Ceux qui l'évoquent, comme S. devraient être rayés des cadres.

La formalisation de la théorie des probabilités sur la base de la théorie de la mesure et de l'intégration permet de formuler clairement les conditions d'application de la loi des grands nombres et du théorème central limite. La loi de Cauchy ne vérifie pas les hypothèses de ces théorèmes. Et l'expérimentation montre bien par exemple que la moyenne de n variables aléatoires de Cauchy standards indépendantes reste distribué selon la loi de Cauchy standard, quel que soit n. Voir par exemple ici : https://dlz9.forumactif.com/t1963-gauss-cauchy-et-levy#23440. Ce résultat se démontre d'ailleurs très facilement.
La loi de Cauchy est un exemple de loi stable différent de la loi de Gauss. Ça a été un sujet d'étude de Paul Lévy. Selon Dlzlogic, Paul Lévy est donc un arnaqueur qui devrait être rayé des cadres : c'est du délire anti-scientifique.

Bonjour,

HumHumHum a écrit:

chaque fois que l'on introduit un concept nouveau, une construction nouvelle, c'est potentiellement des théorèmes qui peuvent devenir faux

Je ne dirais pas cela. Il n'y avait pas de théorème disant que toute fonction continue est dérivable presque partout, par exemple.  La mise au clair des notions de fonctions, de continuité, de dérivabilité, le développement de l'analyse au 19e siècle a permis la construction de fonctions continues nulle part dérivables, mais ça n'invalide pas des théorèmes précédents.

Prends la premiére proposition d'Euclide (sur les 2 cercles qui se coupent en 2 points), il est faux sur le plan rationnelle qu'il est possible de construire avec l'idée de produit d'ensemble, chose qui était inconcevable du temps d'Euclide...

Comme Cantor avec sa théorie sur les cardinaux, a rendu caduque le postulat de bon sens, le tout est toujours plus grand que la partie...



Bonne journée.

Non, car Euclide travaille dans le plan réel euclidien.
Vous pourriez aussi dire que deux cercles se coupent en quatre points dans le plan projectif complexe ... ce qui ne fait pas plus un argument pour votre histoire de théorème qui devient faux.

HumHumHum a écrit:Non, car Euclide travaille dans le plan réel euclidien.
Vous pourriez aussi dire que deux cercles se coupent en quatre points dans le plan projectif complexe ... ce qui ne fait pas plus un argument pour votre histoire de théorème qui devient faux.

Et si,si...

à 2:00


"Il [Euclide dans les élélments] utilise plus que les axiomes qu'il a posé"

Cartier dit simplement que la démonstration est incomplète - pas que le théorème devient faux.

HumHumHum a écrit:Cartier dit simplement que la démonstration est incomplète - pas que le théorème devient faux.

Oui, on peut jouer sur les mots...

La 1e proposition d'Euclide est fausse, en effet on peut construire un contre-exemple, qui était hors de porter d'Euclide.

Aprés on peut compléter (ajouter des axiomes à) l'axiomatique d'Euclide pour que la première proposition d'Euclide deviennent juste en l'état actuelle de nos connaissances...

C'est vous qui jouez avec les mots : oui ou non, Cartier dit-il que la démonstration est incomplète ?

Et on peut dire que "Tout quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieux" est une proposition incompléte...

En effet il suffit de préciser que l'on travaille avec des parallélogrammes...

Mais je préfère dire qu'elle devient fausse, lorsqu'on devient capable de construire des quadrilatères qui ne sont pas des parallèlogrammes.

Très mauvais argument : la proposition ne devient pas fausse, elle est fausse dès le départ.

Bonjour,

Humx3 a écrit:La formalisation de la théorie des probabilités sur la base de la théorie de la mesure et de l'intégration permet de formuler clairement les conditions d'application de la loi des grands nombres et du théorème central limite.

Cela m'a déjà été dit par S. je lui ai demandé la démonstration, j'attends toujours.
Le problème est le suivant : on a observé un certain phénomène lorsqu'on réalisait plusieurs mesure ou observations d'une même chose, de la même façon que peut observer qu'une pomme mûre tombe. C'est à partir de là qu'est née la théorie des probabilités. Les étapes successives sont le postulat de la moyenne (réalité contraire à la théorie du chaos) puis le théorème connu sous le nom de loi des grands nombres, puis le TCL qui généralise la loi normale, elle-même démontrée.
Si on réalise une expérience suivant la loi de Cauchy, on constate que cette théorie reste valable.

Maintenant, il y a la théorie new-look : on ne part pas d'observation réelles mais de théorie mathématique et on a le culot de dire que c'est basé sur la théorie de la mesure. à partir de là on peut raconter tout ce qu'on veut. El transposant cela à l'histoire de la pomme, la théorie de la gravitation universelle est fausse : contre-exemple évident, les oiseaux volent.

Petit complément.
L'axiomatique de K. déclare comme axiomes des notions qui sont démontrées dans la théorie des probabilité connue (Gauss, Lévy, Levallois). Cette théorie est basée sur les trois notions précisées, sans aucune hypothèse particulière.
Donc si on déclare une théorie basée sur des axiomes, des hypothèses, des formules qui pour la plupart sont uniquement théoriques et abstraites, on n'a progressé en aucune manière sur le sujet évoqué, on a trouvé autre-chose qui n'a pas beaucoup de rapport avec le sujet concerné. Et en aucun cas des "hypothèses" de cette théorie new-look ne peuvent être utilisées pour servir de contre-exemple à la théorie rigoureuse des probabilités.

Plutôt que de raconter un peu n'importe quoi, vous feriez mieux de lire la page wikipedia sur l'histoire de la théorie des probabilités :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_des_probabilit%C3%A9s

Si on réalise une expérience suivant la loi de Cauchy, on constate que cette théorie reste valable.

Bien sûr que la loi de Cauchy ne contredit en rien la théorie des probabilités. Cette théorie permet de démontrer que la moyenne de n variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Cauchy standard reste distribuée suivant la loi de Cauchy standard, et la vérification expérimentale de ce théorème de stabilité a été faite sur ce forum. Ceci n'est bien sûr pas un contrexemple au théorème central limite puisque la loi de Cauchy ne satisfait pas l'hypothèse d'intégrabilité dans ce dernier théorème. Ce fait n'a rien de nouveau et sa connaissance est bien antérieure à la formalisation de la théorie des probailités du 20e siècle. C'est Siméon Denis Poisson qui en 1824 (il y a deux cents ans !) l'a remarqué le premier :

Bon, il faut que les choses soient claires. Je fais l'affirmation suivante :
Soit une expérience aléatoire qui consiste à observer et/ou mesurer le résultat d'épreuves suivant le même protocole. Cela peut-être le tir sur cible, le tirage à pile ou face ou toute autre mesure, quelles que soient les conditions, tant que ces conditions ne varient pas.
Alors la théorie des probabilités dit que la moyenne arithmétique de toutes les mesures est la valeur la plus probable de la "valeur vraie" et que la répartition des écarts à la moyenne est celle de la loi normale.

Quand je dis ça, on me répond "c'est pas vrai, voir le cas de la loi de Cauchy.".
Alors faisons une expérience conformément à la loi de Cauchy, par exemple, noter les impacts sur un mur rectiligne d'un projecteur tournant. Ce n'est pas sous prétexte que la loi de Cauchy n'est pas de carré intégrable que le résultat de l'expérience ne sera pas conforme à la théorie des probabilités.
Dans la théorie des probabilités, il n'y a pas d'hypothèses autres que l'aléatoire.
La théorie à laquelle vous faites allusion est basée sur des hypothèses théoriques et abstraites. Par ailleurs, j'ai souvent demandé des exemples d'utilisation de cette théorie new-look, à part des exercices théoriques, je n'ai jamais eu de réponse.

Il faut bien se rendre compte qu'il y a deux théories des probabilités, l'une que l'on doit à Gauss et ses copains et qui est utilisée par les spécialistes de la mesure (rien à voir avec les intégrales de Lebesgue), qui n'admet pas de contre-exemple et une théorie qui date du début du XXè qui est directement déduite de la théorie des ensembles, donc théorique et abstraite.

PS. Oui, on trouvera toujours des textes qui donne le contre-exemple de Cauchy, de la même façon que pour la corde de Bertrand, c'est "comme on veut".

Il me parait clair que tant que l'utilité de cette théorie new-look ne sera pas expliquée clairement, en particulier avec des exemples, le contre-exemple de Cauchy ne sera pas recevable. Sur un plan purement mathématique, j'ai un peu de mal à comprendre des gens qui soutiennent une théorie basée sur des axiomes contre une théorie existante, utilisée par les professionnels et qui démontre les dites notions déclarées vraies par axiomes.

Humx3 a écrit:Plutôt que de raconter un peu n'importe quoi,

Bon, j'ai mis un petit moment à me décider à réagir.
Je me rappelle une discussion concernant le tir sur cible.
J'affirmais, et je continue à l'affirmer, que l'expérience du tir sur cible, en particulier au canon, était l'une des vérifications réalisé pour vérifier les résultats de la théorie des probabilités.
On m'a fait une démonstration, soigneusement orchestrée par deux membres de ce forum, que c'était n'importe quoi, complètement débile etc., avec preuve à l'appui. Je rappelle, pour mémoire que je cherchais à expliquer que des essais avaient été réalisés pour vérifier les conclusions de la loi normale.
L'un des deux membres, assurément plus compétent que l'autre, a pris comme base de départ que la répartition des écarts en direction (azimut) respectait la répartition normale. Bien sûr, c'est vrai, mais, partant de cette constatation il a réussi à démontrer que "je racontais n'importe quoi".
Pour essayer de maintenir un dialogue, je n'ai pas réagi su ce point, mais je me rends compte que chez certains, la rigueur mathématique et logique est négligeable par rapport à la volonté d'avoir raison.
Peut-être certains se reconnaitront.

Il faut bien se rendre compte qu'il y a deux théories des probabilités,

Oui, il y a la théorie des probabilités de (presque) tout le monde, dont vous pouvez lire l'histoire dans la page wikipedia que j'ai mise en en lien.
Et puis il y a votre "théorie des probabilités personnelle", qui résulte d'une assimilation hasardeuse des rudiments de probabilités appliqués à la théorie des mesures physiques que l'on vous a enseignés.
Entendons nous bien : nul ne contestera qu'il est légitime de considérer que les erreurs accidentelles de mesures sont réparties suivant une loi normale centrée et que la moyenne arithmétique des mesures réalisées dans les mêmes conditions soit le meilleur estimateur de la vraie valeur de la grandeur.
Petite question : si on a 5 mesures réalisées avec un appareill dont l'écart-type donné dans la notice est 0.1 et 5 autres avec un appareill dont l'écart-type est 0.2, est-ce que le meilleur estimateur de la vraie grandeur est encore la moyenne arithmétique des 10 mesures ? C'est une question bien pratique, n'est-ce pas ? Vous devriez pouvoir y répondre sans hésiter.

Humx3 a écrit:Petite question : si on a 5 mesures réalisées avec un appareill dont l'écart-type donné dans la notice est 0.1 et 5 autres avec un appareill dont l'écart-type est 0.2, est-ce que le meilleur estimateur de la vraie grandeur est encore la moyenne arithmétique des 10 mesures ? C'est une question bien pratique, n'est-ce pas ? Vous devriez pouvoir y répondre sans hésiter.

J'ai l'impression et la certitude que vous vous moquez littéralement de moi. A mon époque, la notion de moyenne pondérée était enseignée probablement en 3è.
Ce que j'attends de vous, c'est une explication claire avec des exemples de la théorie des probabilités new-look.
Pour mémoire, ma formation et mon diplôme vaut bien le vôtre.

J'ai répondu à votre question, alors, à vous, expliquez cette théorie new-look, avec des exemples d'utilisation.

Quels sont les poids de la pondération dans la moyenne ?

J'ai pas envie de répondre à votre question.
Quand vous saurez calculer le point définitif dans le cadre d'une triangulation, on pourra en reparler.
Mais évidemment par définition, vous en êtes incapable pour la simple raison que les notions de probabilités vous sont complètement inconnues.

Pas envie ? Ou plutôt, vous ne savez pas répondre ?