Deux théories des probabilités ?

Bonsoir,
Apparemment, et je dirais même "à l'évidence" il y a deux théories des probabilités.
La première due à notre ami Gauss et ses copains, que je ne détaillerai pas, je l'ai souvent écrite. C'est celle qui est connue et utilisée par tous les professionnels qui ont un rapport plus ou moins direct avec la mesure.

La seconde, j'ai un peu de mal à en comprendre l'origine. Je crois avoir compris qu'elle découle directement de la théorie des ensembles et de l'axiomatique de Kolmogorov.

Dans un premier temps, je me limiterai à ce constat. Est-il vrai ou faux ?

Bonsoir,
Sur ce forum, il y a votre "théorie des probabilités personnelle", qui résulte d'une assimilation hasardeuse des rudiments de probabilités appliqués à la théorie des mesures physiques que l'on vous a enseignés.
Et puis il y a, dans les réponses qui vous sont faites, la théorie des probabilités de tout le monde sauf vous, dont vous pouvez lire l'histoire dans la page wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_des_probabilit%C3%A9s.

Ben oui, comme d'habitude, des affirmations diffamatoires, et pas de réponse concrète.
On a bien compris votre manège.

Pas de diffamation, juste une constatation.

Bon, alors constatons :
1- veuillez préciser clairement ce que vous reprochez à ma façon d'expliquer la théorie des probabilités.
2- veuillez préciser clairement les détails de votre théorie des probabilités, ses fondements, ses utilisations, avec au moins un exemple de cette utilisation.

1) Votre théorie personnelle des probabilités
- incluit la croyance irrationnelle que si dans une suite de tirages à pile ou face avec pièce équilibrée, si pile est en avance au bout de 100 tirages, il a moins de chances de sortir au 101e.
- ignore ce qu'est une variable aléatoire, l'espérance d'une variable aléatoire, une suite de variables aléatoires, les différents modes de convergence d'une telle suite.
- croit que la coïncidence des courbes de Lorenz pour deux variables aléatoires permet de dire des choses sur la dépendance ou non de ces deux variables.
- ne sait pas que la moyenne de n variables aléatoires indépendantes distribuées suivant la loi de Cauchy est aussi distribuée selon la loi de Cauchy, quel que soit n (démontré par Poisson il y a 200 ans)
etc.
2) Prenez n'importe quel cours sérieux de théorie des probabilités. Comme applications, toutes les applications de la théorie des probabilités. Ce n'est pas MA théorie des probabilités, mais celle de TOUT LE MONDE (sauf vous).

Bon, j'ai la confirmation que vous n'avez aucune idée de ce qu'est la théorie des probabilités.
Alors évitez d'en parlez.

Qu'est-ce qui est le plus crédible ?

Que l'ensemble des intervenants des forums de maths francophone qui ont interagit avec toi ces vingts dernières années soit tous ignorants de la théorie des probabilités ?
Quand bien même ils confirment les dires les uns des autres, ils peuvent citers de nombreux livres ou cours qui disent comme eux, ils peuvent faire des démonstrations,
des simulations qui confirment tous leurs propos ? Ou simplement que toi, qui n'as eu qu'une vague intro au proba il y a 50 ans, n'as peut-être pas tout compris à cette matière ?

Rappelons que tu nous a affirmé avec aplomb que Var(2X) = 2 Var(X)
Rappelons que tu continues encore régulièrement d'utiliser le terme "uniforme" pour quelque chose qui n'a rien à voir
Rappelons que tu continues de contester l'explication donnée partout du paradoxe de Bertrand, sur la base d'un bouquin
qui dit le contraire de ce que tu veux lui faire dire, et que quand on avance avec précision les propos qui vont contre les tiens
tu te contentes de dire "c'est pas vrai".

Bref, il serait grand temps que tu arrêtes de parler des probabilités auquel tu ne comprends RIEN.

Salut Unbeknown,
Oui, ton argumentation est bien structurée.
Mais il manque la chose principale : à quoi sert cette jolie théorie des probabilités où la base se résume par 5 mots : "c'est comme on veut !".
Et si on rentre plus dans le détail, cette théorie est basée sur des axiomes concernant des notions démontrées. Et comme disait, je ne sais plus qui, évidemment, c'est beaucoup plus simple.

Bonjour,
Ici et là on a beaucoup parlé du second théorème de Bernoulli. C'est très important, je vais essayer de le reformuler.
Soit une expérience aléatoire la plus élémentaire possible. On adopte généralement le jeu de pile ou face, le plus basique, ou le tir sur cible, le plus visuel.
Toutes les épreuves sont indépendantes les unes des autres, le protocole est toujours le même et il n'y aucune évolution au fur et à mesure de l'expérience.
On a observé et mesuré les résultats. On en calcule la moyenne. Pour chaque épreuve, on a ainsi la valeur de l'écart à la moyenne.
Le second théorème de Bernoulli dit que les écarts à la moyenne se répartissent conformément à la courbe de Gauss, représentative de la fonction bien connue y = 1/rac(2.pi)exp(-x²/2). Cela est démontré, c'est donc un théorème, connu sous le nom de loi normale.

Il est quelque-fois question, dans des cours, du TCL. Je n'ai pas trouvé l'origine. La seule chose précise est que l'origine est en langue allemande et qu'il y a des variations sur la traduction. Je n'ai pas non plus trouvé ce qu'il apporte au théorème de Bernoulli, à part cette notion de "somme" qui peut être interprétées différemment (i.e. arithmétique ou logique).

L'énoncé donné pour le "second théorème de Bernoulli" par Dlzlogic est très mal formulé, voire faux : les écarts à la moyenne sur une suite de n épreuves n'ont aucune raison de se distribuer suivant une loi normale.
C'est la distribution des moyennes sur n épreuves, convenablement normalisées, qui converge vers la distribution normale quand n tend vers l'infini.
Prenons l'exemple des tirages à pile ou face traité dans le texte de J.J. Levallois.
Au k-ème tirage on associe la variable aléatoire  X_k qui vaut 1 si pile sort à ce k-ème tirage et -1 sinon.
Pour n tirages on calcule la moyenne normalisée Z_n = (somme de X_k pour k de 1 à n)/racine(n).
Alors la suite de variables aléatoires (Z_n) converge en loi vers une variable gaussienne standard.

Rappelons les simulations habituelles pour vérifier expérimentalement ce "second théorème de Bernoulli" :
On simule un assez grand nombre de fois (disons n fois) une variable aléatoire  (dont la distribution reste toujours la même).
On fait la somme, ou la moyenne, des résultats. On répète ce calcul p fois. On vérifie alors que les p sommes (ou les p moyennes) sont à peu près distribuées suivant une loi normale.
La vérification marche pourvu que la variable aléatoire simulée vérifie les hypothèses d'intégrabilité du théorème central limite : on a vu que si on part d'une variable aléatoire de Cauchy, les moyennes restent désespérément distribuées selon la loi de Cauchy, et pas selon la loi normale.

@ Humx3,
Manifestement vous n'avez pas compris ce que j'ai écrit. C'est normal puisque vous posez comme préalable que je n'y connais rien et que je dis des bêtises.
Moi qui croyais encore que les scientifiques avaient une capacité de raisonnement, je suis un peu déçu. Il est vrai que vous n'est pas un scientifique mais un professeur émérite.

Humx3 a écrit:L'énoncé donné pour le "second théorème de Bernoulli" par Dlzlogic est très mal formulé, voire faux : les écarts à la moyenne sur une suite de n épreuves n'ont aucune raison de se distribuer suivant une loi normale.

Ben, si, je sais bien que vous ne le savez pas, mais c'est pas faute de vous l'avoir dit, répété, vérifié etc.
D'ailleurs, pour la nième fois, comment pouvez-vous dire que quelque chose est fausse avec pour seul motif que vous ne le savez pas et malgré routes les vérifications.

Une remarque préliminaire : vu les grossières incompréhensions dans ce domaine des probabilités que vous alignez régulièrement, vous n'avez vraiment aucune crédibilité pour juger les compétences en ce domaine. Arrêtez donc d'essayer de vous rassurer en prétendant que les autres n'y connaissent rien et limitez vous à des arguments scientifiques (même si c'est dur pour vous).

Ceci dit, revenons à votre incompréhension de l'énoncé du "second théorème de Bernoulli".
Notons les durées de vie t_k de n particules semblables dans des conditions identiques (k allant de 1 à n). Soit m la moyenne des durées de vie t_k. Pensez-vous vraiment que les écarts à la moyenne t_k-m "se répartissent conformément à la courbe de Gauss" ? C'est pourtant ce que vous affirmez !
Ce qui se répartit conformément à la courbe de Gauss, ce sont les moyennes elles-mêmes de n durées de vie, pourvu que n soit suffisamment grand. On répète p fois le calcul de moyenne de n durées de vie et on vérifie que les p moyennes obtenues ont une répartition normale.

Oui, très classique : vous oubliez une hypothèse du théorème de Bernoulli, il est toujours question de "même chose". Je m'attache à le rappeler chaque fois, mais là, je ne l'ai pas noté explicitement.
Donc, votre dernier message ne vaut rien. Pas de chance, pour une fois que vous donniez un semblant d'exemple.
Peut-être n'avez-vous pas compris. Quand on mesure la durée de vie d'une particule, on ne peut plus recommencer avec la même particule, puis qu'elle est morte. Mais il est vrai que l'expérience peut consister à des fins de vérification de prévoir plusieurs épreuves de durée de vie de n particules.
A ce propos, j'aimerais bien simuler une telle expérience, naturellement sans utiliser la fonction exp, j'ai déjà posé la question, c'est assez difficile.

Exemple d'expérience menée par un professeur au lycée : chaque élève doit noter sur un papier la dimension qu'il estime personnellement du tableau noir.
Les valeurs sont collectées, et on les reporte graphiquement. C'est que l'on voit la répartition normale par rapport à la moyenne.
Je ne sais plus exactement qui c'est, mais c'était un membre assez actif.

Vous continuez à manifester votre incompréhension du "second théorème de Bernoulli", ou théorème central limite.

Voici son contenu en image :

Oui, très joli.
On avait eu le même genre de chose avec le problème de la caissière de cinéma.
Je suppose que vous avez obtenu cette courbe exponentielle en utilisant une fonction qui pourrait s'appeler "loi exponentielle".
Moi je cherche à faire un protocole qui donne ce résultat, sans utiliser (parce qu'on ne le sait pas) la fonction exp().
Disons que c'est pour vérifier la théorie, ou tout simplement parce qu'on n'a jamais entendu parler de "demi-vie".

Dans le cas de la distribution exponentielle, le terme "espérance" qui vaut la moyenne arithmétique n'est pas très approprié, c'est tout de même la médiane qui est la valeur importante dans cette situation, sachant par ailleurs que le rapport entre la moyenne et la médiane est ln(2).

On avait eu le même genre de chose avec le problème de la caissière de cinéma.

Le temps d'attente pour que la caisse ne puisse plus rendre la monnaie, comme le temps d'attente du premier retour à l'équilibre dans une suite de tirages à pile ou face, ne suivent pas une loi exponentielle. Ils ont une espérance infinie, et donc ne satisfont pas la conclusion du théorème central limite.
Encore une mauvaise compréhension des probas ...

Bonsoir,
Pardon pour ce message hors sujet.
J'ai ouvert ce fil pour mettre en évidences les deux façons assez différentes de comprendre la théorie des probabilités.
La théorie initiee par Gauss et ses copains, c'est à dire celle qui est utilisée par les professionnels est basée sur la réalité que le hasard est une notion fondamentale incontournable.
La théorie qui, apparemment, est enseignée aux étudiants est basé sur des axiomes, lesquels sont démontrées dans la théorie de Gauss.

Le sujet de ce message correspond à une question que j'ai posée concernant la méthode de simulation d'une expérience qui suit une loi exponentielle. Cette loi est assez particulière, puisque on ne peut pas mesurer une quantité relative à un même élément. En effet, la mesure correspond à une durée de vie, donc par définition, on ne peut faire la mesure qu'une seule fois. On retrouve ce type de procédure dans le cas de limite de rupture, très utilisé dans certains contextes.

Donc, ma question concernait la difficulté que j'avais à simuler ce genre de phénomène. Il est bien connu que cette expérience est valable concernant la durée de vie d'éléments radioactifs, de composants électroniques sans usure etc.

Voile le résultat de ma simulation.

Ce n'est qu'une simulation. Il est clair que l'importance de la notion de hasard est fondamentale.
A ce niveau, la relation avec la loi normale est sans objet, puisque les élément dont on mesure la durée de vie sont des objets différents, par définition.
Merci à ceux qui se seront intéressés à ce sujet.

A ce niveau, la relation avec la loi normale est sans objet, puisque les élément dont on mesure la durée de vie sont des objets différents, par définition.

Toujours la même incompréhension concernant le théorème central limite, ou "second théorème de Bernoulli". J'ai essayé de vous faire comprendre, mais à l'impossible nul n'est tenu !

La simulation d'une variable exponentielle de paramètre λ est très simple : on utilise la simulation d'une variable aléatoire U répartie uniformément dans [0,1[ et on prend X = (-1/λ) * ln(1-U).
Sinon, on peut voir la loi exponentielle comme limite d'une loi géométrique. On réalise alors l'expérience suivante : on divise par 1000 le nombre de tirages d'un dé à 1000 faces (numérotées de 0 à 999) au bout desquels on obtient 0. On obtient ainsi une bonne approximation d'un tirage suivant la loi exponentielle standard. C'est bien sûr beaucoup moins efficace que la méthode précédente !

Voici un code python pour faire ce tirage (n est le nombre de faces du dé) :

Code:


import random as rd

def distr_exp_approx(n) :
    nb=0 ; succ=0
    while succ==0 :
        nb+=1
        if rd.random() < 1/n :
            succ=1
    return nb/n

Ça donne, pour n=1000 :

Bonjour,
J'ai mal posé ma question concernant la simulation.
Je me mets dans la situation où je ne connais pas la loi exponentielle, ni la fonction logarithme, ma machine ne dispose pas des fonctions compliquées, ln, log, exp, et c'est quoi lambda ?
Je dispose virtuellement d'un nombre suffisant de composants électroniques sans usure ni vieillissement et je veux simuler le phénomène. Naturellement, je sais que le même composant ne peut servir qu'une seule fois et que naturellement on n'est pas dans le cadre de la loi normale, puisque la condition fondamentale "même chose" n'est pas satisfaite.

Dans votre explication, vous semblez dire que la vérité est la fonction exponentielle et que la simulation ne serait qu'une approche de la vérité. Ne serait-ce pas le contraire, la vérité est une réalisation naturelle, reproductible, alors la loi exp n'est qu'un modèle. On connait le problème de l’œuf et de le poule, qui est apparu en premier ? Là, vous semblez dire que c'est la loi exp qui est apparue en premier, donc "vraie" et le problème de durée de vie en est une application.
Manifestement votre vision de la théorie des probabilités est bien celle que je décris en début de fil, et elle devrait plutôt s'appeler "Théorie des proportions" pour la bonne raison qu'elle est issue de la théorie des ensembles, laquelle ne tient en aucun cas compte du hasard.

Concernant la simulation que je cherchais à faire, merci je l'ai réalisée avec les hypothèses que je m'étais données. Voir mon dernier message.
Ce petit épisode confirme le titre du fil. Moi, j'ai compris qu'il y avait deux approches, vous, vous n'imaginez que la vôtre. Toute autre vision que la vôtre ne peut être énoncée que de la part d'un hérétique ignorant.

Moi, j'ai compris qu'il y avait deux approches

Oui, il y a bien deux approches sur ce forum : la votre, farcie d'erreurs et d'incompréhensions, et celle de tout le monde à part vous, qui est celle de la théorie des probabilités connue de tous (sauf vous).

Juste une question : en quoi a consisté votre simulation, d'où sort le graphique de ce message https://dlz9.forumactif.com/t2064-deux-theories-des-probabilites#24412 ?

Encore une incompréhension dans votre dernier message : vous ne savez pas que la loi exponentielle est limite de lois géométriques ? Il est très facile de simuler une loi géométrique, et en prenant une loi géométrique de petit paramètre (j'ai pris 1/1000) on obtient pratiquement une loi exponentielle. C'est ce que j'ai fait

Bon, je n'insisterai pas sur votre première phrase.

J'essayerai de répondre à la question. Ma simulation consiste à observer la répartition de durée de vie d'objets distincs. J'obtiens ainsi une liste de couples XY, que vous pourrez appeler "matrice", il parait que ça fait plus sérieux.
Ensuite, et c'est naturellement le but de l'opération, je cherche un modèle qui corresponde à cette liste. Là j'utilise un logiciel appelé EditeDlz qui, en autre-choses, calcule des régressions. Je lui soumet la liste et j'obtiens le résultat affiché.

Oh, si, je connais bien la relation entre la loi géométrique et la loi exponentielle. Dans ces deux lois, la notion d'espérance n'a pas vraiment de sens et le calcul de la moyenne n'a d'intérêt que par le rapport à la médiane : log(2) et ln(2) suivant la loi concernée.

J'ajouterai pour répondre à un message précédent, que la loi de Cauchy est un cas particulier utilisé, à ma connaissance, seulement par les opticiens. Quant à la loi exponentielle, ce n'est pas un cas particulier, puisque les objets mesurés ne servent qu'une fois. Le rapport avec la théorie des probabilité est assez flou.

Ma simulation consiste à observer la répartition de durée de vie d'objets distincs. J'obtiens ainsi une liste de couples XY

Quels objets ? Que représente X ? Que représente Y ?

Oh, si, je connais bien la relation entre la loi géométrique et la loi exponentielle. Dans ces deux lois, la notion d'espérance n'a pas vraiment de sens et le calcul de la moyenne n'a d'intérêt que par le rapport à la médiane : log(2) et ln(2) suivant la loi concernée.

L'espérance a bien un sens, et quand on prend les moyennes de n (grand) variables exponentielles (ou n variables géométriques) de même espérance m, on aura une distribution à peu près normale centrée en m (théorème central limite).