Deux théories des probabilités ?

Humx3 a écrit:Dire que la durée de vie d'un noyau radioactif suit une loi exponentielle de paramètre λ, c'est dire que la PROBABILITÉ qu'un tel noyau ait une durée de vie supérieure ou égale à t est exp(-λ*t).

Ben non, un atome isolé, on s'en fiche, ce qui est important à savoir c'est que la moitié des atomes seront encore actifs à partir d'une certaine date.
On constate la même erreur avec le jeu de pile ou face, on se fiche de savoir que la pièce a une chance sur deux de faire pile, ce qui est important, c'est que pour un grands nombre de coups le nombre de pile et de face seront à peu près les mêmes.

Je vous avais demandé comment vous expliqueriez à des élèves que l'utilisation d'une pièce (pile ou face) permettait de montrer la loi normale. Je ne me souviens pas avoir eu de réponse.

Ben non, un atome isolé, on s'en fiche, ce qui est important à savoir c'est que la moitié des atomes seront encore actifs à partir d'une certaine date.
On constate la même erreur avec le jeu de pile ou face, on se fiche de savoir que la pièce a une chance sur deux de faire pile, ce qui est important, c'est que pour un grands nombre de coups le nombre de pile et de face seront à peu près les mêmes.

Vous avez oublié le "à peu près la moitié" dans la première phrase concernant les noyaux radioactifs.
"À peu près", dans un cas comme dans l'autre, ce n'est pas très précis.
On ne se fiche bien sûr pas de la probabilité qu'un noyau radioactif isolé survive à un temps donné, ou de la probabilité qu'une pièce a de retomber sur pile (dans les deux cas, probabilité de succès d'une épreuve de Bernoulli).
Le nombre de piles pour n lancers comme le nombre de noyaux survivants parmi n  noyaux sont des sommes de variables de Bernoulli de paramètre p, c.-à-d. des lois binomiales de paramètres n et p.  Cela permet d'être beaucoup précis que votre "à peu près",  Et la répartition des nombres de piles ou des nombres de noyaux survivants permet d'expliquer à des élèves la convergence des lois binomiales vers la loi de Gauss : votre "à peu près la moitié de piles" ne nous amène pas à la loi de Gauss, il faut être plus précis sur la répartition du nombre de piles.
Voir les histogrammes de nombres de noyaux survivants :

Pour 3000 ans :
moyenne = 695.48 (théorique = 695.65) ; écart-type = 14.47 (théorique = 14.55)

Pour 5730 ans :
moyenne = 500.21 (théorique = 500.00) ; écart-type = 15.89 (théorique = 15.81)
C'est tout de même plus précis que de dire que "la moitié des atomes seront encore actifs au bout de 5730 ans", n'est-ce pas ?

Pour 8268 ans :
moyenne = 367.77 (théorique = 367.82) ; écart-type = 15.11 (théorique = 15.25)[/quote]

Humx3 a écrit:Vous avez oublié le "à peu près la moitié" dans la première phrase concernant les noyaux radioactifs.
"À peu près", dans un cas comme dans l'autre, ce n'est pas très précis.

Ben non, j'ai rien oublié, pour deux raisons :
1- on ne va jamais compter, d'autant que avec cette loi non-probabiliste, tous les atomes sont indépendants : loi sans mémoire
2- C'est une loi théorique, indépendante de toute notion de probabilité : il n'y a pas de symétrie par rapport à la moyenne.

"ce n'est pas très précis" Oui, j'ai hésité avec "tend vers" et ça n'a pas plu non plus. Ce qui montre bien qu'il y a deux théories des probabilités.

A vous lire, la loi de probabilité des atomes ce carbone 14 est la même que celle du tirage à pile face avec une pièce équilibrée Ca, c'est une théorie intéressante, peut-être une troisième ? Vous ne pensez pas qu'avec deux, on en a déjà assez ?

Unne nouvelle perle à ajouter à la collection :

Dlzlogic a écrit:C'est une loi théorique, indépendante de toute notion de probabilité : il n'y a pas de symétrie par rapport à la moyenne.

La loi de probabilité du nombre de noyaux encore actifs parmi n au bout d'un temps t donné est une loi binomiale.
La loi de probabilité du nombre de piles en n lancers avec une pièce équilibrée ou non équilibrée est une loi binomiale.
Mais vous ne savez sans doute pas ce qu'est une loi binomiale : il est clair pour tout élève sachant ce qu'est une loi binomiale que le nombre de noyaux de carbone-14 restant actifs parmi 1000 au bout de 3000 ans suit une loi binomiale.
La loi binomiale, c'est au 18e siècle (théorème de de Moivre -Laplace)

Oui, vous êtes bien affirmatif.
Pourtant, quand, on ouvre le sujet "loi binomiale" dans Wikipédia, on a une jolie courbe de Gauss.
Par ailleurs, il me semble bien que, autant avec un dé ou à pile ou face, l"expérience est du type "loi uniforme".
Alors qui faut-il croire ?

Je sui bien affirmatif parce que j'ai parfaitement raison. Je n'ai pas l'habitude de raconter n'importe quoi. Vous devriez le savoir.

La loi binomiale de paramètres n,p n'est pas la loi normale. Mais, pour n grand et p ni trop proche de 0 ni trop proche de 1, elle ressemble fort à une loi normale. Précisément, si p est fixé et X_n une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres n, p, alors (X_n -n*p)/ racine (n*p*(1-p)) converge en loi quand n --> ∞ vers lune variable aléatoire de loi normale standard. C'est le théorème démontré par de Moivre et Laplace. Voir "convergence vers la loi normale" dans la page wikipedia.

Le tirage à pile ou face avec une pièce non équlibrée n'est pas une expérience du type "loi uniforme".

Qui faut-il croire ? Moi, et tous les documents sérieux sur les probas (les votres n'en font pas partie). Tous disent la même chose.

Bien, alors, je répète ma question : à quoi sert cette théorie, sur quoi est-elle basée, quels exemples peut-on donner pour analyser le phénomène étudié.
J'ai bien lu que vous affirmez que mon cours n'est pas un document sérieux. Vous remettez donc en cause le cours de Lévy et la partie utilisée par Levallois. Ca me parait un peu énorme, étant donnée toutes les utilisations et vérifications de cette théorie.

Humx3 a écrit:Le tirage à pile ou face avec une pièce non équlibrée n'est pas une expérience du type "loi uniforme".

Je n'ai pas compris cette phrase. En probabilité, que la pièce soit équilibrée ou non, cela ne change rien. Le paramètre p au lieu d'être 0.50, il sera par exemple 0.45 et (1-p) = 0.55. Ce sera toujours une expérience du type "loi uniforme".

Absolument pas, ce n'est pas uniforme puisque pile et face ne sont pas équiprobables.
Commencez par apprendre les définitions au lieu d'inventer une terminologie qui n'a rien à voir avec celle de la théorie des probabilités.
Vous vous demandez vraiment à quoi sert la théorie des probabilités ? Il n'y a qu'une théorie scientifique des probabilités. Il y a aussi votre théorie personnelle qu'on ne rencontre heureusement que sur ce forum, et qui n'a pas grand chose de scientifique.

"Absolument pas, ce n'est pas uniforme puisque pile et face ne sont pas équiprobables."
Je crois que là, on est arrivé à un point important.
Deux hypothèses, soit on déclare qu'une loi est uniforme si on procède toujours de la même façon pour exécuter l'expérience. En langage mathématique, cela peut se dire, c'est toujours la même fonction qui est utilisée.
Soit on peut se dire, comme Humx3 semble le penser, qu'un toute circonstance, les chances de tirer pile ou face sont les mêmes.
Je pense que là, on est arrivé à l'explication que la théorie des probabilités de second type est claire. L'équiprobabilité est une base indispensable concernant cette théorie. Naturellement, c'est complètement faux et sans objet.
J'ai l'intuition que cette erreur vient de l'amalgame ou de la confusion entre fonction et valeur renvoyée par la fonction.
Je crois que j'ai l'explication concernant cette dichotomie entre les deux théories des probabilités, celle qui est utilisée et celle qui est enseignée.
Il est un peu tard pour développer, mais demain, on pourra peut-être essayer de s'expliquer.
Bonne soirée.

Il n'y a que vous qui utilisez "loi uniforme" pour dire à peu près "variables aléatoires indépendantes et identiquement distribués". Encore une fois, apprenez la terminologie de la théorie des probabilités (la vraie, pas votre pseudo-"théorie").

Bon, ce qui est important, et c'est la seule chose : à quoi sert l'étude des probabilités, quelles sont des base fondamentales, citation de quelques exemples.
Toutes les critiques qui vous pouvez me faire vous amusent et vous donnent de l'importance, mais sont parfaitement inutiles.

Bionjour,
Si vous voulez avoir une idée du travail des probabilistes, vous pouvez par exemple regarder la page de présentation des équipes de mon labo qui travaillent dans ce domaine, ici :
https://irmar.univ-rennes.fr/pole-aleatoire-de-lirmar
Vous voyez, ils dessinent même des courbes de Gauss.
On trouve des résumés de publications, par exemple :

Ying Hu, Xiaomin Shi, Zuo Quan Xu : Non-homogeneous stochastic LQ control with regime switching and random coefficients
This paper is concerned with a general non-homogeneous stochastic linear quadratic (LQ) control problem with regime switching and random coefficients. We obtain the explicit optimal state feedback control and optimal value for this problem in terms of two systems of backward stochastic differential equations (BSDEs): one is the famous stochastic Riccati equation and the other one is a new linear multi-dimensional BSDE with all coefficients being unbounded. The existence and uniqueness of the solutions to these two systems of BSDEs are proved by means of BMO martingales and contraction mapping method. At last, the theory is applied to study an asset-liability management problem under the mean-variance criteria.
(Application en finance, à la gestion actif/passif)

Steven Golovkine, Nicolas Klutchnikoff, Valentin Patilea : Adaptive optimal estimation of irregular mean and covariance functions
We propose straightforward nonparametric estimators for the mean and the covariance functions of functional data. Our setup covers a wide range of practical situations. The random trajectories are, not necessarily differentiable, have unknown regularity, and are measured with error at discrete design points. The measurement error could be heteroscedastic. The design points could be either randomly drawn or common for all curves. The definition of our nonparametric estimators depends on the local regularity of the stochastic process generating the functional data. We first propose a simple estimator of this local regularity which takes strength from the replication and regularization features of functional data. Next, we use the "smoothing first, then estimate" approach for the mean and the covariance functions. The new nonparametric estimators achieve optimal rates of convergence. They can be applied with both sparsely or densely sampled curves, are easy to calculate and to update, and perform well in simulations. Simulations built upon a real data example on household power consumption illustrate the effectiveness of the new approach.
(Application à l'étude de la consommation domestique d'énergie)

Bachir Bekka, Yves Guivarc'h : On the spectral theory of groups of automorphisms of S-adic nilmanifolds

(Ici les applications sont à l'intérieur des mathématiques, en géométrie et théorie des groupes).

Bonjour,
C'est à vous que j'ai posé ces questions.
J'ai bien compris que cette théorie new-look est très répandue, mais je cherche des réponses précises, à mes questions précises :
"Bon, ce qui est important, et c'est la seule chose : à quoi sert l'étude des probabilités, quelles sont les base fondamentales, citation de quelques exemples."
Autrement dit, je n'ai pas besoin de choses du type référence ou citation mais de réponses précises de votre part.

D'accord, s'il s'agit de problèmes probabilistes concernant mon domaine professionnel :
Quel est le nombre moyen de racines réelles d'un polynôme réel de degré n ?
Pour commencer, que veut dire "tirer un polynôme réel de degré n au hasard ?

Puisqu'il y a une seule théorie des probabilités sérieuse, qui inclut bien sûr les résultats des pionniers de la théorie des probabilités, toutes les applications des probas rentrent dans ce cadre. Appeler "new look" cette théorie n'est pas très sérieux, et votre question comprise comme "qu'y a-t-il comme application spécifique de cette théorie new look" est sans objet, puisqu'il n'y a pas de théorie new look opposée à une théorie classique. La théorie des probabilités a évolué bien sûr, notamment avec le développement de la théorie de la mesure initié par Borel et Lebesgue au début du 20e siècle, l'étude des processus, les problèmes d'ergodicité ... Cette évolution, intègre, précise et étend les résultats antérieurs.
Je le répète, il n'y a d'opposition qu'avec votre fumeuse théorie personnelle dont les aberrations ont été soulignées maintes et maintes fois.

Merci, j'ai parfaitement compris la réponse. Elle est sans appel.
Le sujet est clos.

On ne voit nulle part de discussion sur tes deux théories de probabilités Pierre.

Les discussions de deux types de probabilité existent, c'est la différence entre les fréquentistes et les bayesiens.

Les fréquentistes définissent la proba comme un comportement de fréquence relative à long terme.
Les bayesiens rajoutent des probas à des évènements uniques, et parlent de degrès de confiance, de belief
P(X) = degree of belief that X is true

Dlzlogic a écrit:"Absolument pas, ce n'est pas uniforme puisque pile et face ne sont pas équiprobables."
Je crois que là, on est arrivé à un point important.
Deux hypothèses, soit on déclare qu'une loi est uniforme si on procède toujours de la même façon pour exécuter l'expérience. En langage mathématique, cela peut se dire, c'est toujours la même fonction qui est utilisée.
Soit on peut se dire, comme Humx3 semble le penser, qu'un toute circonstance, les chances de tirer pile ou face sont les mêmes.
Je pense que là, on est arrivé à l'explication que la théorie des probabilités de second type est claire. L'équiprobabilité est une base indispensable concernant cette théorie. Naturellement, c'est complètement faux et sans objet.
J'ai l'intuition que cette erreur vient de l'amalgame ou de la confusion entre fonction et valeur renvoyée par la fonction.
Je crois que j'ai l'explication concernant cette dichotomie entre les deux théories des probabilités, celle qui est utilisée et celle qui est enseignée.
Il est un peu tard pour développer, mais demain, on pourra peut-être essayer de s'expliquer.
Bonne soirée.  

Tu devrais détailler.
Il me semble que les maths sont précises, et si précises, si bien définies que c'est en effet un peu lourd puisque ce n'est pas une mais des fonctions qui rentrent en jeu.
La première fonction est celle de variable aléatoire.
Une variable aléatoire X est une fonction, avec ensemble de départ les évènements possibles d'oméga, ensemble d'arrivée des valeurs numériques xi
Et ensuite arrive une deuxième fonction qui est la loi de probabilité de X,
cette fonction attribue à chaque xi une valeur entre 0 et 1 qui est sa probabilité P(xi)

Donc oui tu as raison sur la premiere fonction qui est l'expérience aléatoire, le hasard est l'équiprobable.

Mais là n'est pas la loi uniforme qui est une loi de probabilité, donc la deuxième fonction en langage maths.
Je mets un exemple.

On prend un groupe d'étudiants collège lycée.
On va étudier le poids des étudiants.
La variable aléatoire W, de chaque étudiant i tiré au sort (oméga) on va mettre en relation son poids wi
Lorsqu'on dit on tire au sort un étudiant,
on parle bien du hasard d'équiprobabilité de tirage d'un étudiant.
Ce que tu appelles loi uniforme est alors ici dans la fonction variable aléatoire .

Mais la loi de probabilité est la deuxième fonction, celle de la loi de probabilité
elle sera défini par la fonction de répartition, ou par la fonction de densité.
Elle va donner des probas aux poids des élèves, ou a des intervalles de poids des élèves.
Là il ya probabilité, là il ya loi de probabilité.
Et là tu parles de loi uniforme ou de loi normale ou de loi machin truc,
sur la loi de probabilité

Beagle a écrit:La première fonction est celle de variable aléatoire.
Une variable aléatoire X est une fonction, avec ensemble de départ les évènements possibles d'oméga, ensemble d'arrivée des valeurs numériques xi
Et ensuite arrive une deuxième fonction qui est la loi de probabilité de X,
cette fonction attribue à chaque xi une valeur entre 0 et 1 qui est sa probabilité P(xi)

Permettez moi une petite rectification. J'espère que vous n'allez pas vous vexer, Beagle.
L'aléatoire se situe au niveau de l'espace probabilisé Ω.
Dans le cas où Ω est fini ou dénombrable, on a une fonction P qui à chaque issue ω (un élément de Ω) associe sa probabilité P(ω).
Un évènement A est une partie de Ω, un ensemble d'issues, et la probabilité de cet évènement est la somme des P(ω) pour ω appartenant à A. Bien entendu, la probabilité de Ω tout entier est égale à 1.
Dans le cas général, P est ce qu'on appelle une mesure de probabilité, c'est une fonction définie sur un ensemble d'évènements (parties de Ω, pas en général toutes les parties). Je ne rentre pas dans les détails.
Une variable aléatoire réelle est une fonction X de Ω dans l'ensemble R des nombres réels. La loi de probabilité de X est déterminée par la probabilité des évènements a < X < b où -∞ <= a < b <= +∞, c'est-à-dire la probabilité de l'événement formé des issues ω telles que a < X(ω) < b.
Comme le dit Jacques Harthong, "ce n'est pas la valeur numérique prise par la variable aléatoire qui est choisie au hasard, mais l'épreuve ω."
Quand il y a plusieurs variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé Ω, l'aléatoire n'est pas dans les diverses lois de probabilité de ces variables aléatoires, mais dans la seule mesure de probabilité sur Ω.

Ça peut paraître des nuances inutiles par rapport à ce qu'écrit Beagle, mais ça me semble important à comprendre.

Oui merci HumHumHum ,
c'est mieux ,
en effet comme j'étais un peu paumé avec les définitions d'espaces probabilisé avec les trucs de tribu (ça rentre mais je n'avais pas ou plus ces trucs là
j'ai rescindé le bidule avec les variables aléatoires et loi de proba pour y voir plis clair,
mais fallait le remettre dans un seul machin, merci.

Mais comme on peut choisir des omegas différents pour une meme expérience aléatoire,
il me semble que le hasard primordial ou je sais plus son nom de l'expérience aléatoire, n'est pas vraiment porté par omega.
Si je lance deux dés équilibrés,
je peux choisir omega comme les couples des deux dés,
mais si ensuite je dois bosser tout le temps sur la somme des deux dés, je peux prendre oméga avec les diférentes sommes possibles de deux dés.

Et le hasard uniforme de Pierre, celui de l'expérience aléatoire, il n'est alors plus dans oméga
me semble-t-il.

Dans la situation des deux dés, l'univers Ω "le plus naturel" est celui des 36 issues équiprobables possibles. Dessus, tu as plein de variables aléatoires, avec différentes lois, par exemple le nombre tiré avec le premier dé, celui tiré avec le deuxième (deux variables aléatoires de loi uniforme sur {1,...,6} indépendantes), la somme, la valeur absolue de la différence, le max, le min. la variable aléatoire de Bernoulli qui vaut 1 si la somme est un nombre premier et 0 sinon ...  Mais l'aléatoire, il est toujours dans le Ω.

Harthong demande que le Ω soit fini et que toutes les issues soient équiprobables. C'est, à mon avis, plus une position idéologique qu'une raison scientifique, même si l'équiprobabilité (ou l'uniformité quand Ω est infini) est plus agréable ...

Bonjour Beagle,
Comme tu le demandes, je vais détailler.
Restons-en à l'exemple simple et élémentaire : le tirage à pile ou face.
Prenons d'abord, une pièce équilibrée. Il me semble que l'on est dans un contexte de loi uniforme. Si je me trompe, qu'on me le dise gentiment et qu'on me dise quel est le nom de cette loi.
On fait un grand nombre de tirages et on observe que le nombre de pile et de face est proche. Ca, il me semble que c'est clair pour tout le monde.
Maintenant, j'ajoute que le résultat de ce tirage respecte la loi normale. J'ai cru comprendre que Humx3 le sais et je loi ai demandé comment on pouvait faire pour le vérifier. Pas de réponse.
En fait dans le monde réel, une pièce n'est jamais "parfaitement" équilibrée. Les termes employés dans l'expérience théorique, c'est à dire avec une pièce parfaitement équilibrée, sont-il toujours les mêmes ?
Maintenant, on prend une pièce non équilibrée, par exemple p=45% et (1-p) = 55%. Même question que pour une pièce du monde réel ?

Ben ta loi uniforme et ta loi normale, à aucun moment tu ne dis ce que tu comptes, ce que tu observes,
combien de fois tu l'as fait etc...
tu parles dans le vide pour le moment.

Bonsoir,

Dlzlogic a écrit:On fait un grand nombre de tirages et on observe que le nombre de pile et de face est proche. Ca, il me semble que c'est clair pour tout le monde.

Non, ce n'est pas clair pour moi. Que veut dire "proche" ? Une fois ce point précisé, je pourrai dire si c'est correct ou pas.

Maintenant, j'ajoute que le résultat de ce tirage respecte la loi normale.

C'est quoi, "le résultat" ? Quelle est la variable aléatoire qui est distribuée suivant une loi normale ?

Les mathématiques, et les probas en particulier, ce n'est pas "comme on veut". Il faut être précis dans ses formulations, sinon on raconte facilement des bêtises.