Deux théories des probabilités ?

Oui, c'est une bonne question qui est X qui est Y ? C'est la question que je me suis posée un moment. Puisque vous êtes compétent à la matière vous n'aurez aucun mal à le savoir. Pourquoi posez-vous la question ?

Concernant l'espérance (de quoi ?) que l'on identifie à la moyenne. En probabilités, la moyenne a une importance particulière. Comme dans le cas présent il ne s'agit pas d'une mesure d'une même chose, alors la moyenne ne représente rien de particulier. C'est la médiane qui est significative puisque un objet tel que ceux qui sont testés ont une chance sur deux de vivre plus longtemps que le temps correspondant à la médiane. D'où l'expression "demi-vie".

Humx3 a écrit:L'espérance a bien un sens, et quand on prend les moyennes de n (grand) variables exponentielles (ou n variables géométriques) de même espérance m, on aura une distribution à peu près normale centrée en m (théorème central limite).

La signification de "variable aléatoire" varie suivant les contextes. Dans les cours, c'est explicitement noté comme une fonction. Dans les exercices, il faut le plus souvent la considérer comme une valeur. Alors désolé, il faudrait mettre une traduction à votre phrase.
Moi, je sais définir une expérience, un évènement, le hasard, mais j'avoue que je n'ai pas réussi à trouver une définition pour "variable aléatoire", d'autant qu'il semble que le terme "hasard" n'est pas un terme mathématique.

Oui, c'est une bonne question qui est X qui est Y ? C'est la question que je me suis posée un moment. Puisque vous êtes compétent à la matière vous n'aurez aucun mal à le savoir. Pourquoi posez-vous la question ?

Je peux expliquer les choses raisonnables. Je ne peux pas expliquer les choses obscures qui n'ont pas grand sens. Je vous repose donc la question : que représentent ces X et Y ? Vous ne voulez pas ou ne pouvez pas répondre ?

Moi, je sais définir une expérience, un évènement, le hasard, mais j'avoue que je n'ai pas réussi à trouver une définition pour "variable aléatoire",

Seriez-vous de mauvaise foi? On peut trouver cette définition partout. Il serait plus honnête de dire que vous ne comprenez pas cette définition. Harthong :

wikipedia (variable aléatoire plus générale, pas forcément à valeurs réelles) :

Fiche de cours de 1e :

Oui, bien sûr, j'ai lu cela de nombreuses fois.
Donc une variable aléatoire est une fonction comme il est écrit dans tous les cours.
Alors, comment appelle-t-on la valeur renvoyée par la fonction suite à un évènement donné ? Pour mémoire, "évènement" et "épreuve" ont à peu près le même sens et ils ont en commun la valeur numérique réelle qui en résulte.
Là, je sais bien qu'on discute de termes. C'est pas ça qui est important. Dans votre définition, il y a 6 termes, ça devient bien compliqué.
Prenons un exemple simple. Il a été utilisé dernièrement.
On a une balance. Le jour de sa fabrication, ou de sa livraison, la valeur lue avait pour précision de mg (dernier chiffre significatif) et l'écart-type 1.5 mg.
Que sont oméga ?
F ?
P ?
E ?
epsilon ?
Comment a-t-on déterminé l'écart-type ?
Où intervient la théorie des probabilités ?
Cette expérience de la balance me parait un premier pas indispensable.

@ Humx3,
Bon, je ne devrais pas le dire, mais je le dis tout de même : si quelqu'un vient vous demander comment il doit procéder pour évaluer le temps de demi-vie, que ce soient des ampoules électriques, des composants électronique ou des particules radioactive, que lui répondrez vous ? Quelque-chose comme "dites-moi la valeur de lambda à utiliser et je vous fais le calcul" ?

Bon, j'attends toujours des explications sur vos X, Y.
Quand vous me les aurez données, on pourra discuter d'autres choses.

Oh, mais il ne s'agit pas de discuter d'autre chose. Le problème est bien là. Votre théorie des probabilités que tant de monde aime bien et enseigne ne permet aucune application. J'ai demandé un très grand nombre de fois un exemple d'application pour pouvoir l'analyser en détail et comprendre tous les raisonnements utilisés.
Là, il s'agit d'un cas très basique. Pour votre défense, la première fois que j'ai vu ce problème, j'ai répondu au demandeur que je ne savais pas comment on faisait. Depuis, j'ai cherché, j'ai réfléchi, mais évidemment j'avais des bases que vous n'avez pas.
Pour mémoire, réfléchissez bien à cela : le seul résultat intéressent, dans cet exemple que vous citez, est de calculer la valeur de demi-vie.
L'histoire de la loi normale et du TCL n'a rien à voir dans le cas précis.

Que repésentent les X,Y de votre "simulation" ? Ceux de ce message : https://dlz9.forumactif.com/t2064-deux-theories-des-probabilites#24412
Pourquoi ces cachotteries ?

Ce ne sont pas des cachoteries, c'est simplement la réponse à la question que j'ai posée à propos de sa simulation que je souhaitais faire.
J'ai posé la question à Léon (quel que soit son pseudo du moment) et à vous. J'ai trouvé la réponse, en quoi cela pourrait vous intéresser, puisque je suis un incompétent ?

HumHumHum a écrit:Que repésentent les X,Y de votre "simulation" ? Ceux de ce message : https://dlz9.forumactif.com/t2064-deux-theories-des-probabilites#24412

Normalement, vous devriez pouvoir expliquer ce que vous avez fait dans votre "simulation" pour produire ces X,Y.  Alors pourquoi ne pas le faire ?
Je vous rappelle que de mon côté, j'ai expliqué et donné le code pour simuler un tirage selon une loi expoentielle sans aucune utilisation de fonction logarithme ou exponetielle, c'est ici : https://dlz9.forumactif.com/t2064-deux-theories-des-probabilites#24413
Pourquoi refusez-vous de répondre ,? 'etes-vous si peu convaincu par ce que vous avez fait, que vous refusez d'en parler ?

Bonjour Humx3,
J'ai un certains nombre de souvenirs où "on" m'a "demandé" de justifier certaines méthodes que j'utilisais. Je pense par exemple à la méthode de redressement de façade. La conclusion des échanges a toujours été désagréable pour moi, voire très désagréable. Alors, comme on dit dans certaines régions "Faut être pris pour être appris !".
Je constate simplement que pour une question simple, vous ne savez par répondre. C'est vous-même qui avez évoqué cette loi exponentielle comme exception à ma définition de la loi normale et du fait que c'est le second théorème de Bernoulli. Ce qui est une constatation claire et nette qu'il y a bien deux théories des probabilités, cette qui est utilisée par tous les professionnels et celle qui est connue et enseignée par les matheux

A titre personnel, j'ai un sérieux avantage sur vous, je connais la première et je comprends la seconde, ce qui a comme effet que je ne dis jamais que vous avez tort (sauf si c'est le cas, vu le contexte).

D'accord, il me faut donc tirer la conclusion que votre "simulation" de loi exponentielle est du grand n'importe quoi et que vous êtes incapable d'expliquer ce que vous avez fait pour obtenir vos X,Y. Passons ...

Je rappelle votre "définition de la loi normale" :

Toutes les épreuves sont indépendantes les unes des autres, le protocole est toujours le même et il n'y aucune évolution au fur et à mesure de l'expérience.
On a observé et mesuré les résultats. On en calcule la moyenne. Pour chaque épreuve, on a ainsi la valeur de l'écart à la moyenne.
Le second théorème de Bernoulli dit que les écarts à la moyenne se répartissent conformément à la courbe de Gauss, représentative de la fonction bien connue y = 1/rac(2.pi)exp(-x²/2). Cela est démontré, c'est donc un théorème, connu sous le nom de loi normale.

Exemples :
1) Déviation horizontale de l'impact dans le tir à la cible, sur un échantillon de tirs.
2) Durée de vie d'un atome de carbone 14, sur un échantillon d'atomes.
Inutile de ressortir vos salades sur le fait que quand un atome de carbone 14 s'est désintégré, on ne peut plus recommencer l'expérience avec le même atome. Quand une balle a été tirée sur la cible, on ne recommence pas non plus à tirer avec la même balle ! Il y a destruction de la balle.
Dans le premier cas, on constate expérimentalement que les écarts à la moyenne ont une distribution normale. Très bien.
Dans le deuxième cas, il n'y a bien sûr pas de répartition normale des écarts à la moyenne.
Vous vous méprenez complètement sur ce que dit le "second théorème de Bernoulli", connu en fait comme "Théorème central limite". La distribution normale n'est pas pour les écarts à la moyenne en général, elle vaut pour les moyennes sur des échantillions assez grands . Voir le deuxième histogramme ici : https://dlz9.forumactif.com/t2064-deux-theories-des-probabilites#24407 : la distribution des moyennes de 1000 nombres tirés suivant une loi exponentielle est normale.

C'est clair et net qu'il y a bien deux théories des probabilités sur ce forum, d'une part la votre qui est farcie d'erreurs et d'incompréhensions, d'autre part la vraie théorie des probabilités, celle de tout le monde (sauf vous).

Oh, la question que je vous ai posée et à laquelle vous n'avez pas su répondre : un industriel vient vous demander la méthode pour estimer la durée de demi-vie.
Plutôt que de réfléchir un peu, vous préférez dire "D'accord, il me faut donc tirer la conclusion que votre "simulation" de loi exponentielle est du grand n'importe quoi et que vous êtes incapable d'expliquer ce que vous avez fait pour obtenir vos X,Y. Passons ..." .
Oh, mais moi je ne passe pas. Lors de mes études on m'a appris que les matheux ignoraient les notions de base des probabilités. j'ai eu la confirmation par divers contacts, dont le Pr Mathieu Rouaud, et par mes observations personnelles.
Pour faire simple : les professionnels utilisent la théorie des probabilités. Le matheux connaissent et enseignent la théorie des proportions.

si quelqu'un vient vous demander comment il doit procéder pour évaluer le temps de demi-vie, que ce soient des ampoules électriques, des composants électronique ou des particules radioactive, que lui répondrez vous ? Quelque-chose comme "dites-moi la valeur de lambda à utiliser et je vous fais le calcul"

Le temps de demi-vie d'un atome de carbone 14 est évalué expérimentalement. C'est à peu près 5730 ans. Autrement dit, la durée de vie d'un atome de carbone 14, exprimée en années, est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ =121 * 10^-6. Ceci permet de résoudre un petit exercice facile :
On part d'une population de 1000 atomes de carbone 14. Le nombre d'atomes de carbone 14 restants au bout de 3000 ans est une variable aléatoire. Quelle est la distribution de cette variable aléatoire ? (application du théorème central limite).

Oui, mais comment a-t-on fait pour trouver 5730 ans ?

Humx3 a écrit:On part d'une population de 1000 atomes de carbone 14. Le nombre d'atomes de carbone 14 restants au bout de 3000 ans est une variable aléatoire. Quelle est la distribution de cette variable aléatoire ? (application du théorème central limite).

Vous m'avez dit qu'une variable aléatoire était une fonction, là vous dites qu'un nombre est une fonction, là, je suis perdu.
Si on connait la fonction exponentielle correspondant à la durée de vie d"un atome de carbone 14, cet exercice n'entre en aucun cas dans le cadre des probabilités est le TCL est hors-sujet.
A ce propos, les formules dans l'article de Wikipédia utilisent lambda et l'espérance. On connait la durée de demi-vie, c'est pas très simple.
Je ferai tout de même une tentative de répons tout à l'heure.

Bon, j'ai vérifié la valeur de lambda, mais in faudrait que je calcule la fonction et j'ai la flemme.
Je dirais, graphiquement et à vue de nez, il doit en rester environ 700.

Bon, je sais que je suis pas très intelligent et surtout pas très instruit, mais je me pose la questions depuis plusieurs heures : quel rapport peut-il y avoir entre le calcul du nombre d'atomes de C14 encore actifs au bout de 3000 ans et la théorie des probabilités. Bien sûr, on ne pourra pas le vérifier, mais comme le calcul correspondant, c'est à dire la formule de durée de vie, est bien fixé, les probabilités n'interviennent plus.

Je me demande si chez certains, théorie des probabilités n'est pas comprise comme "on n'en sait rien, de toute façon on ne pourra pas vérifier, alors on ne risque rien à professer une belle théorie qui ne repose elle-même sur une autre théorie".
Pour moi, c'est de l'arnaque caractérisée et généralisée. Un exemple bien connu : la corde de Bertrand. Là, pas de chance, on démontre facilement l'arnaque, alors la seule attitude à adopter : la diffamation.

Dlzlogic a écrit:Oui, mais comment a-t-on fait pour trouver 5730 ans ?

Vous ne lisez pas ce que j'écris ?

HumHumHum a écrit:Le temps de demi-vie d'un atome de carbone 14 est évalué expérimentalement.

Vos réponses à l'exercice ne sont pas du tout satisfaisantes. On demande de caractériser une variable aléatoire, vous répondez par un nombre. Or ce nombre n'est pas une variable aléatoire, il s'agit au mieux de l'espérance de cette variable aléatoire. Par ailleurs vous persistez dans votre incompréhension du théorème central limite, ce qui fait que vous passez complètement à côté de l'aspect probabiliste du problème. Là il est un peu tard, je ferai une correction demain.

Chose promise, chose due.

La durée de vie du i-ème atome de carbone 14 (i = 1,...,1000) est une variable aléatoire T_i de loi exponentielle de paramètre λ = 121 * 10^-6. Ceci permet de calculer la probabilité p pour que le i-ème atome ait une durée de vie  > 3000 ans. Le nombre N₃₀₀₀ d'atomes de carbone 14 qui ne se sont pas désintégrés au bout de 3000 ans est donc la somme de 1000 variables aléatoires de Bernoulli B_i de paramètre p. Comme cette variable aléatoire est la somme d'un grand nombre de variables i.i.d., le théorème central limite nous dit que l'on peut pratiquement assimiler sa loi à une loi normale, centrée en 1000*p et d'écart-type σ = racine(1000 * p * (1-p)). On peut en particulier donner un intervalle de confiance à 95% pour N₃₀₀₀ : [ 1000*p - 2*σ, 1000*p + 2*σ].
Application numérique : p = exp(- 121 * 10^-6 * 3000) = 0.696 ;  σ = racine(1000 * 0.696 * 0.304)=14,55.
L'espérance de N₃₀₀₀ est 696, (l'estimation de 700 n'était pas mauvaise) et on a comme intervalle de confiance à 95% :  [667, 725].

Je peux revenir sur la notion de variable aléatoire qui semble poser tant de difficultés à Dlzlogic. Une variable aléatoire réelle est une fonction de Ω dans R. Que peut-on prendre comme Ω ici ? A priori, l'espace de toutes les histoires possibles du système formé par les 1000 atomes de carbone 14. Mais c'est un peu flou, et ce qui nous intéresse ici est de savoir pour chaque atome s'il s'est désintégré ou pas à l'instant t. On peut donc prendre pour Ω l'espace (R union {∞})¹⁰⁰⁰.  L'issue ω = (t₁,...,t₁₀₀₀) élément de Ω représente l'histoire du système où l'atome n° i se désintègre à l'instant t_i.
La variable aléatoire T_i : Ω --> R est donc simplement la fonction définie par T_i(t₁,...,t₁₀₀₀) = t_i. La variable de Bernoulli B_i : Ω --> {0,1} est la fonction définie par B_i(t₁,...,t₁₀₀₀) = 1 si t_i > 3000, 0 sinon. La variable aléatoire N₃₀₀₀ : Ω --> N, à valeurs entières, définie comme N₃₀₀₀ = somme(B_i pour i de 1 à 1000) est la fonction telle que N₃₀₀₀(t₁,...,t₁₀₀₀) = le nombre de i tels que t_i > 3000.
Où est l'aléa là-dedans ? Comme l'explique Harthong dans son chapitre sur les variables aléatoires, l'aléa est dans la mesure de probabilité sur l'espace Ω. Cette mesure de probabilité est entièrement déterminée par le fait que les T_i sont i.i.d. de loi exponentielle de paramètre λ. Je peux détailler, mais je me demande si ça vaut la peine car je suis presque sûr que Dlzlogic est déjà complètement perdu.

Bonjour Humx3.
D'abord 2 questions :
1- vous dites que le délai de demi-vie est observé ou calculé ou estimé "expérimentalement". Ben oui, je m'en doute, c'est la description de cette expérience qui m'intéresse.
2- comment est calcule ou observé ou estimé lambda, à part la lecture de documentation spécialisée ?

Si les paramètres sont fixés la fonction est parfaitement définie, il peut y avoir des incertitudes (précision) dans le calcul dues à la précision des paramètres, mais en aucun cas de l'aléatoire. On pourra demander à 1000 matheux de faire le calcul, avec les mêmes paramètres, on aura toujours la même précision. Là, dans le cas présent, vous confondez allègrement "calcul d'erreur" et "théories des probabilités". Il est vrai que dans un calcul d'erreur, la théorie des probabilités est sous-jacente, mais ce n'est utile que des cas précis et compliqués.

S'il vous plait, ne citez pas Hartong comme référence, j'ai observé avec quelle facilité vous lui faites dire ce qui vous plait, en espérant que ça va marcher. Le cas de la corde de Bertrand est suffisamment caractéristique.

Je confirme qu'il n'y a aucune notion relative à la théorie des probabilités dans le résolution de cet exercice.

Désolé, je ne suis pas physicien et je ne connais pas précisément les expériences permettant de déterminer la demi-vie de l'atome de carbone 14 ou d'autres noyaux. On peut mesurer la décroissance dans le temps de l'actvité radioactive d'un échantillon https://www.mirion.com/discover/knowledge-hub/articles/education/half-life-measurement-lab-experiment. Mais pour les noyaux radioactifs qui ont une période longue comme le carbone 14, je ne suis pas sûr que ce soit très performant. On peut aussi remonter assez loin dans le temps en utilisant les anneaux des troncs d'arbre pour avoir une datation précise d'un matériau organique et y mesurer le carbone 14, mais là non plus je ne suis pas très sûr. Bref, c'est de la physico-chimie et je ne suis pas compétent dans ce domaine, mais il y a suffisamment de scientifiques compétents qui ont fait les expériences adéquates pour avoir confiance dans leurs résultats.

Si les paramètres sont fixés la fonction est parfaitement définie, il peut y avoir des incertitudes (précision) dans le calcul dues à la précision des paramètres, mais en aucun cas de l'aléatoire.

Quelle fonction ? Vous semblez complètement ignorer que la désintégration d'un noyau de carbone 14 est un phénomène aléatoire, décrit par une loi exponentielle. Il y a bien de l'aléatoire !

Je confirme qu'il n'y a aucune notion relative à la théorie des probabilités dans le résolution de cet exercice.

Vous confirmez en fait que vous n'avez pas compris grand chose à cet exercice. Vous avez été capable de déterminer à peu près l'espérance du nombre d'atomes qui ne se sont pas désintégrés, mais votre incompétence en probabilités et en particulier votre mauvaise compréhension du théorème central limite ne vous permettent pas d'aller au-delà.

S'il vous plait, ne citez pas Hartong comme référence,

Harthong, page 132 :

Bonjour,
Durant ce fil, on n'a pas ou peu évoqué une notion importante de modèle.
Voilà ma définition personnelle : c'est une représentation synthétique d'un phénomène donné.
La représentation peut être sous différentes formes, formule simple, formule compliquée, ensemble de formules, abaque, ordinogramme, histogramme etc.
Elle est synthétique puisqu'elle peut être observée et utilisée d'un seul coup d’œil.

Il y a deux approches principales. L'une que j'appellerai "théorique". A partir de raisonnements et de théorèmes existants, on établit une formule. Ensuite, il est de la responsabilité de l'auteur de la formule de la vérifier par des contrôles.
L'autre approche est expérimentale. On identifie un certain nombre de variables qui pourraient être les termes de la formule recherchée. A partir d'observations, on dresse la liste des évènements observés et du résultat mesuré. Des méthodes de calcul connues permettent d'obtenir une formule définitive. Ces méthodes sont basées sur la théorie des probabilités.

Dans le cas de la loi exponentielle, il est possible que les deux méthodes (théoriques et expérimentale) ont été utilisées.

Une fois que le modèle est établit, son utilisation est possible et directe sans raisonnement particulier, puisque c'est l'application d'une formule ou la lecture d'un abaque.

[HS] Petite référence à un exercice qui a provoqué pas mal de critique, la méthode employée se rapproche un peu de l'établissement de modèle par méthode expérimentale. [/HS]

Bonjour,
On peut rapprocher l'exercice que j'ai posé (décrire la variable aléatoire "nombre d'atomes de carbone-14 restants après 3000 ans en partant de 1000 atomes") de l'exercice : décrire la variable aléatoire "nombre de piles obtenus dans une suite de 1000 tirages à pile ou face avec pièce équilibrée".
Dans les deux cas, les mêmes notions élémentaires de probabilité interviennent, avec dans les deux cas le rôle du théorème central limite.

Bonjour,
J'ai bien compris vos certitudes. Il me semble que c'est un aspect de la différence entre la théorie des probabilités connue et utilisée par les professionnels et la théorie que vous enseignez.
Dans l'exercice que vous proposez, suite à des analyses théoriques et expérimentales on a établi une formule avec un paramètre constant : lambda, relatif au carbone 14 et une variable x = nombre d'années concernées par le calcul, le résultat de la formule est la proportion des molécule mortes. En fait, dans la pratique, je suppose qu'on cherchera plutôt la datation de l'élément concerné en fonction de la proportion de carbone 14 inactifs. C'est une application de la notion de modèle. Une fois que le modèle est établi, on peut l'appliquer purement et simplement.

La théorie des probabilités est basée sur le hasard. Je dis bien LE hasard et non pas un hasard décidé par un matheux. Application : dans la question posée par la corde de Bertrand, on demande la probabilité que [...], cette probabilité dépend du hasard, or il est unique, donc, il n'y a qu'une seule réponse possible.

La détermination expérimentale de la demi-vie d'un atome de carbone-14 permet de calculer la probabilité p=0,696 qu'un atome ne soit pas désintégré au bout de 3000 ans.
On part de 1000 atomes et on se demande combien restent au bout de 3000 ans. C'est exactement comme faire 1000 tirages avec une pièce qui a probabilité p=0,696 de tomber sur pile et de se demander combien on obtient de piles. C'est simple à comprendre, n'est-ce pas ?
Dans les deux cas, le théorème central limite nous dit que la variable aléatoire qui donne le nombre cherché a une loi pratiquement normale, centrée en 696, et d'écart-type 14,55.

C'est exactement comme faire 1000 tirages avec une pièce qui a probabilité p=0,696 de tomber sur pile et de se demander combien on obtient de piles.

Il me semble qu'avec cet énoncé, la réponse est facile : 696. Personne ne peut dire le contraire, et le seul théorème à invoquer est la loi des grands nombres.
Pour les pièces, on peut calculer un écart-type, pour les atomes de carbone 14, rien n'interdit de calculer une valeur numérique, mais ce ne sera sûrement pas un écart-type pour la simple raison qu'au point t=3000 la courbe n'est pas symétrique. Une courbe exponentielle n'est nulle part symétrique. Cela vient du fait que l'expérience avec la pièce est une répétition de N épreuves avec même pièce, alors que l'expérience avec le carbone 14 concerne des molécules différentes, par définition.