Deux théories des probabilités ?

Toujours le même argument bidon : rien n'empêche de faire les 1000 tirages avec 1000 pièces équilibrées différentes.
Toujours la même incompréhension du théorème central limité : quand on fait la somme des 1000 variables aléatoires de Bernoulli de paramètre p, qu'elles soient associés à la survie d'atomes de carbone 14 ou à l'obtention du "pile", on obtient une distribution paratiquement normale centrée en 1000*p et d'écart-type racine (1000 * p * (1-p)).
Décidément, votre incompréhension des probabilités est colossale !

Petit test facile, On fait le calcul pour 3000 ans (déjà fait), puis pour 2950 ans, puis pour 3050 ans.

Vous êtes d'accord que le nombre d'atomes restants au bout de 3000 ans  a une distribution normale centrée en 696 et d'écart-type 14,55 ?
Aucun problème pour adapter le calcul pour 2950 ou 3050 ou 4000 ans : j'ai indiqué comment faire ici : https://dlz9.forumactif.com/t2064p25-deux-theories-des-probabilites#24455 . Il suffit de remplacer le  p = exp(- 121 * 10^-6 * 3000) = 0.696 par exp(- 121 * 10^-6 * 2950)  ou exp(- 121 * 10^-6 * 3050)  ou exp(- 121 * 10^-6 * 4000) .

Vous êtes d'accord que le nombre d'atomes restants au bout de 3000 ans a une distribution normale centrée en 696 et d'écart-type 14,55 ?

Pas très facile de répondre à cette question.
Cela suppose que le résultat d'observations admet une moyenne, là pas de problème, la réponse est unique.
Le nombre d'atomes restants peut se calculer par une formule précise qui est de forme exponentielle et parfaitement défie.
Le hasard n'intervient pas dans ce calcul. En d'autres termes si on fait plusieurs fois le même calcul, on obtiendra toujours la même valeur.
Etant donné qu'il n'y a pas d'aléatoire, la loi normale ne peut pas être invoquée, ni directement ni indirectement. Puisque la loi normale ne peut pas être invoquée, un calcul conduisant à un écart-type n'a pas de sens.
Par ailleurs, le respect de la loi normale peut être vérifié, dans le cas présent comme chaque calcul donne un résultat et un seul, on ne peut pas obtenir une liste de résultats issus de la même expérience.
La seule expérience qui a été faite dans ce cas, produit une moyenne. Cette moyenne est assortie d'un écart-type, lequel permet de calculer la précision du résultat, c'est à dire la valeur numérique de cette moyenne, laquelle permet de calculer la valeur de lambda. Cela permet de calculer la précision de lambda, et par conséquent la précision obtenue par le calcul du nombre d'atomes restants au bout de 3000 ans.
Donc, le réponse est NON.

Cela confirme une nouvelle fois que vous ne comprenez vraiment RIEN à la situation.
C'est pourtant très simple.
1°) Chacun des 1000 atomes de carbone-14 a une probabilité de 0.696 de ne pas se désintégrer au bout de 3000 ans (calcul déjà fait à partir de la demi-vie = 5730 ans). La durée de vie d'un atome est indépendante de celle des autres.  D'accord ?
2°) On est donc, comme je vous l'ai déjà expliqué, dans la même situation que si on lance 1000 pièces déséquilibrées qui ont chacune probabilité 0.696 de tomber sur pile et qu'on se demande combien de piles on obtient. D'accord ?
Vous êtes sur de chez sûr qu'il n'y a aucun aléa dans cette situation ?
3°) Dans ces deux situations, le nombre d'atomes restants ou le nombre de piles est une somme de 1000 variables i.i.d., précisément 1000 variables de Bernoulli indépendantes de paramètre p=0.696. D'accord ?
4°) Le théorème central limite nous dit que cette somme de variables de Bernoulli a pratiquement une distribution normale centrée en 1000 * 0.696 = 696 et d'écart-type racine(1000 * 0.696 * (1-0.696)) = 14,55. D'accord ?
C'est le b-a-ba des probas. Seriez-vous incapable de comprendre ce b-a-ba ?

Très nettement on n'est pas d'accord sur la signification du TCL.
Alors le mieux, c'est vous écriviez son libellé et éventuellement sa démonstration.

Bonjour,

Dlzlogic, vous vous moquez du monde. On a déjà tenté un nombre incalculable de fois de vous expliquer ce qu'est le TCL, mais vous maintenez votre incompréhension. Une fois de plus ne changera pas cet état de fait, mais bon ...

Théorème : Soit (X_n) une suite de variables indépendantes identiquement distribuées admettant un moment d'ordre 2. On note μ l'espérance commune des X_n et σ² leur variance, qu'on suppose non nulle.On pose
S_n = X₁ + ⋯ + X_n ,   Y_n = (S_n − n*μ) / (σ*√n).
Alors la suite (Y_n) converge en loi vers une variable aléatoire de  loi normale centrée réduite. En d'autres termes, pour tout x réel,
P(Y_n ≤ x) → 1/(√2*π) ∫^x_−∞ exp(−u²/2) du.

Ce que signifie pratiquement ce théorème c'est que si on a n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d'espérance μ et de variance σ² et si n est grand, alors la somme de ces variables aléatoires est pratiquement distribuée suivant une loi normale centrée en n*μ et d'écart-type σ*√n.

C'est ce qui est appliqué dans la solution de l'exercice, où le nombre d'atomes restant est la somme de 1000 variables de Bernoulli indépendantes de paramètre p=0.696.

Le texte de J-J. Levallois présente une démonstration du TCL dans le cas d'une suite de variables de Bernoulli indépendantes de paramètre 1/2. La somme de n telles variables de Bernoulli est le nombre de piles dans une série de n tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée.

Mais je parie en fait que votre incompréhension de l'exercice est encore plus profonde : vous ne comprenez pas que le nombre d'atomes de carbone 14 restants au bout de 3000 ans est la somme de 1000 variables de Bernoulli indépendantes de paramètre 0.696. Me trompé-je ?

Bonjour Humx3.
Je pense que c'est la première fois que je lis un intitulé aussi précis de ce théorème. Je suis sincère.

Il y a cependant des points que je voudrais préciser :
"Soit (Xn) une suite de variables indépendantes identiquement distribuées admettant un moment d'ordre 2. On note μ l'espérance commune des Xn et σ2 leur variance, qu'on suppose non nulle." c'est la définition de ce que je préfère appeler "un ensemble d'expériences de même protocole". Le terme "suite" sous-entend qu'il y a une une relation d'ordre, ce qui est faux et c'est très important. Vous précisez bien "espérance commune et variance égale". L'espérance est une notion difficile dans certains cas, par exemple dans le cas d'une expérience de loi exponentielle. L'espérance, c'est la moyenne, ou la médiane ou lambda ?
Le raisonnement est à peu près le même pour la variance.

On fait la différence entre Sn et n fois l'espérance qui est la vraie valeur, inconnue. Cela implique que Sn est un nombre réel et par conséquent les Xi sont des nombres réels. Or il est dit partout que ce sont des fonctions.

Cette définition colle parfaitement si il s'agit d'une expérience et de n épreuves. Si on veut généraliser et c'est vrai, alors il n'y a plus de restrictions sur l'identité des lois et de leur espérance, mais là n'est pas le problème.

Hum a écrit:
Le texte de J-J. Levallois présente une démonstration du TCL dans le cas d'une suite de variables de Bernoulli indépendantes de paramètre 1/2. La somme de n telles variables de Bernoulli est le nombre de piles dans une série de n tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée.

Parfaitement exact c'est la démonstration du second théorème de Bernoulli, plus connu sous le nom de "loi normale".

Dans notre cas (loi exponentielle) on peut faire plusieurs expériences qui chacune produiront un résultat (moyenne, médiane et lambda), ces ensembles de résultats auront une répartition normale, conformément à la théorie.
Quant à l'utilisation de ce résultat, c'est simplement l'application de la formule du modèle. Que l'on ait fait la vérification à l'aide de plusieurs expériences ou pas, on aura un modèle applicable à toute période et réciproquement.

c'est la définition de ce que je préfère appeler "un ensemble d'expériences de même protocole".

Des goûts et des couleurs ... mais, comme vous devriez le savoir, dans un domaine scientifique il vaut mieux utiliser une terminologie précise qui ne laisse pas de place à l'ambiguïté.

Le terme "suite" sous-entend qu'il y a une une relation d'ordre, ce qui est faux et c'est très important.

Suite signifie simplement qu'on les énumère. Votre appréciation de fausseté est sans objet.

L'espérance est une notion difficile dans certains cas, par exemple dans le cas d'une expérience de loi exponentielle. L'espérance, c'est la moyenne, ou la médiane ou lambda ?
Le raisonnement est à peu près le même pour la variance.

Vous devriez savoir que l'espérance et la variance sont définis sans ambiguïté pour une variable aléatoire. On (et moi en particulier) vous l'a expliqué de très nombreuses fois.

On fait la différence entre Sn et n fois l'espérance qui est la vraie valeur, inconnue. Cela implique que Sn est un nombre réel et par conséquent les Xi sont des nombres réels. Or il est dit partout que ce sont des fonctions.

Vous vous trompez, les X_i sont des variables aléatoires et S_n qui est la somme des X_i est donc aussi une variable aléatoire.

second théorème de Bernoulli, plus connu sous le nom de "loi normale".

Non, la loi normale n'est pas un théorème, c'est une loi de probabilités. Ça aussi on vous l'a expliqué un nombre incalculable de fois.

Vous ne dites pas si vous avez ou non compris que le nombre d'atomes de carbone-14 restants après 3000 ans est une variable aléatoire, somme de 1000 variables aléatoires de Bernoulli de paramètere 0.696. Mais d'après la fin de votre message, il me semble clair que vous ne l'avez toujours pas compris.

Ce que j'ai compris ou pas n'a aucune importance.
Une variable aléatoire, que ce soit un réel ou une fonction, est aléatoire. Or aléatoire sous-entent que le hasard entre en ligne de compte. Jacques Harthong a consacré un chapitre à la définition du hasard, cf. la boule de billard. Il aussi détaillé une question qui préoccupe de nombreux matheux : la corde de Bertrand.
Dans votre énoncé du carbone 14, où se trouve l'aléatoire ? Il n'y en a pas, puisque la médiane de lambda sont donnés.
Pour établir le modèle , si on a utilisé la méthode expérimentale, alors oui, il fallait tenir compte de la théorie des probabilités dans la vérification.

Hum a écrit:Vous devriez savoir que l'espérance et la variance sont définis sans ambiguïté pour une variable aléatoire. On (et moi en particulier) vous l'a expliqué de très nombreuses fois.

C'est un peu plus compliqué que cela. Etant donné une expérience, on cherche à évaluer le résultat le plus probable. Cette valeur, généralement inconnue est la valeur vraie. Vous l'appelez "espérance", c'est dommage puisque cette expression est connue pour être le produit du gain par la probabilité. Par ailleurs l'écart-type se calcule. Il est vrai que pour un très grand nombre d'épreuves on peut généralement estimer sa valeur.
Exemple du jeu de pile ou face avec une pièce équilibrée. Son "espérance" est à l'évidence N/2. On peut estimer l'écart-type pour un nombre N de tirages.

J'ai observé qu'on a déjà fait un grand pas, le second théorème de Bernoulli et le TCL ne font qu'un. Autrement dit, la loi normale est démontrée.

Dans votre énoncé du carbone 14, où se trouve l'aléatoire ?

La durée de vie d'un atome de carbone-14 est aléatoire. Elle suit une loi exponentielle de paramètre λ =121 * 10^-6. Ceci entraîne que la PROBABILITÉ que la durée de vie d'un atome de carbone-14 dépasse 3000 ans est 0.696. Ceci entraîne que le nombre d'atomes de carbone 14 survivant au bout de 3000 ans dans une population de 1000 atomes au départ est une VARIABLE ALÉATOIRE qui est la somme de 1000 variables de Bernoulli de paramètre 0.696.
Si vous n'avez toujours pas compris cela, pas étonnant que vous ne compreniez rien à l'exercice. Si vous vous obstinez à ne pas le comprendre, je ne peux pas grand-chose pour vous.

Vous êtes vraiment pénible avec votre incompréhension de ce que sont l'espérance et la variance d'une variable aléatoire. Harthong :

Autrement dit, la loi normale est démontrée.

Non, la loi normale n'est pas un théorème, mais une loi de probabilité. Le théorème s'appelle Théorème Central Limite.

Oui, plutôt qu'essayer de définir "variable aléatoire" qui est tantôt une valeur numérique, tantôt une fonction, suivant le contexte de la phrase où cette expression apparait, il serait plus facile de définir ce qui n'est pas une variable aléatoire, mais une valeur numérique calculée à partir d'une fonction, qui n'est jamais une valeur exacte et dont la précision dépend de celle avec laquelle la fonction a été établie.
En effet, d'après vos "explications", toute valeur numérique, quelle qu'elle soit et quelque soit la façon dont on l'obtient est une variable aléatoire.

Je ne me souviens pas que vous m'ayez dit comment est obtenu la valeur lambda = 121 * 10^-6 dont il est question dans l'énoncé.
Je pense que ce point est important, plus que des affirmations.

Il faut s'y faire, vous ne comprendrez jamais ce qu'est une variable aléatoire.
Le fait que vous n'y compreniez rien ne vous qualifie pas pour raconter n'importe quoi.

Vous avez vous-même, d'après vos dires, vérifié que la calcul du paramètre de la loi exponentielle à partir de la demi-vie 5730 ans donne bien λ =121 * 10^-6 : https://dlz9.forumactif.com/t2064p25-deux-theories-des-probabilites#24446. Je vous rappelle que la demi-vie (médiane) pour une loi exponentielle de paramètre λ est ln(2)/λ. Médiane, ça veut dire qu'un atome de carbone-14 a une chance sur deux de ne pas être désintégré au bout de 5730 ans. Le fait que la durée de vie ait une loi exponentielle entraîne qu'il a une probabilité de 0.696 de ne pas être désintégré au bout de 3000 ans ; ici est l'aléa que vous ne voulez pas voir.

L'exercice est résolu, la solution est tout à fait à la portée d'un élève de lycée.
Votre théorie personnelle dans laquelle vous vous enfermez, basée sur des préjugés dénués de tout fondement et des incompréhensions colossales, ne vous permet pas de comprendre. Tant pis pour vous.

Bonne nuit

Bonsoir,
Oui, j'ai bien lu ce que vous avez écrit, à propos de ce fameux paramètre lambda.
Je pense que ce que j'étais en droit d'espérer de votre part, c'est ceci :
La donnée de l'exercice est la médiane = 5730 ans, c'est à dire l'espérance de demi-vie.
On peut donc calculer ce que vous appelez l'espérance de l'expérience aléatoire : E(X) = Méd / ln(2) ) 8268 ans. Valeur plus facile à observer.
D'où la valeur de lambda = 1 / E(x) = 121 * 10 ^6.
En d'autres termes, si on sait que la loi (formule du modèle) de mort d'un atome est une fonction exponentielle, alors connaissant la médiane ou la moyenne ou lambda, ce qui revient au même à une opération arithmétique près, alors on connait la formule pour calculer le nombre d'atomes encore actifs après un certain délai ou réciproquement, l'âge d'un élément connaissant l'une quelconque de ces trois valeurs.

Une pièce équilibrée a une probabilité de 0.5 de tomber sur pile. Que peut on dire du nombre de piles quand on lance 1000 pièces ? Qu'il est distribué pratiquement selon une loi normale centrée en 500 d'ecart-type  (1/2)*racine(1000).
Un atome de carbone-14 a une probabilité 0.696 de curvivre au bout de 3000 ans. Que peut-on dire du nombre d'atomes survivants au bout de 3000 ans quand on part de 1000 atomes ?
Je vous laisse méditer là-dessus, je vais être absent quelques jours.

Bonjour,

Humx3 a écrit:Une pièce équilibrée a une probabilité de 0.5 de tomber sur pile.

Cette phrase est vraie, mais elle est sans intérêt compte tenu de la théorie des probabilités qui, si elle se limitait à ça, n'aurait aucun intérêt.
Il me semble justement que c'est la seconde théorie, que j'ai appelée new-look, et qui ignore les notions fondamentales, postulat de la moyenne, loi des grands nombres et loi normale.
Il y en a une, peut-être parce qu'elle est relativement facile à démontrée, qui à survécu à cette nouvelle théorie, directement liée à la théorie des ensembles, c'est l'inégalité de Bienaymé.

Que peut on dire du nombre de piles quand on lance 1000 pièces ? Qu'il est distribué pratiquement selon une loi normale centrée en 500 d'ecart-type (1/2)*racine(1000).

Oui, c'est vrai, mais comment le savez vous ? C'est un théorème ? Vous l'appelez probablement TCL ? En fait c'est le second théorème de Bernoulli. Vous avez observé que Levallois avait démontré ce théorème et qu'il avait précisé qu'il était connu sous le nom de loi normale.

Un atome de carbone-14 a une probabilité 0.696 de survivre au bout de 3000 ans.

Et une probabilité de 0.5 de survivre au bout de 5730 ans et une probabilité de environ 0.35 de survivre au bout de 8268 ans, ce n'est pas vraiment proportionnel. Quelle comparaison avec une pièce ?

Ce serait intéressant que, dans le but de montrer et d'expliquer tout cela, en particulier la répartition normale du lancé de pièce équilibrée, vous construisiez une petite simulation. Le but étant de montrer qu'en utilisant une pièce équilibrée (une loi binomiale) on peut obtenir une courbe de Gauss, représentative de la loi normale.

Bonnes vacances.

Il me semble justement que c'est la seconde théorie, que j'ai appelée new-look, et qui ignore les notions fondamentales, postulat de la moyenne, loi des grands nombres et loi normale.

Petit rappel:
- le "postulat de la moyenne" n'existe que dans ton vieux poly plein d'approximation, impossible de le trouver dans un document sérieux un tant soit peu récent
- tous les cours de probabilités parlent de la loi des grands nombres, de la loi normale (qui est un type de variable aléatoire, pas une théorème) et du théorème centrale limite.
Et si le cours est un tant soit peu sérieux il démontre ces théorèmes (LGN et TCL).

Donc raconter que la "seconde théorie" ignore ces notions fondamentales est une absurdité sans nom (heureusement que le ridicule ne tue pas)

Oui, c'est vrai, mais comment le savez vous ? C'est un théorème ? Vous l'appelez probablement TCL ? En fait c'est le second théorème de Bernoulli. Vous avez observé que Levallois avait démontré ce théorème et qu'il avait précisé qu'il était connu sous le nom de loi normale.

Oui, le TCL est un théorème bien connu, parfaitement énoncé et démontré.

Le "second théorème de Bernoulli" n'a ce nom que dans de très rares textes. Et il s'agit d'une application immédiate du TCL.

Non, le TCL n'est pas connu sous le nom de "loi normale" (sauf par un guignol dans son petit forum de complotiste...)

"(sauf par un guignol dans son petit forum de complotiste...)"

donc c'est pour toi que j'ai mis le fil de discussion Fauci
https://dlz9.forumactif.com/t2077-fauci-et-le-gain-de-fonction

Et puisque l'on vote dimanche pour les députés européens,
peux-tu nous dire si les gens doivent voter pour des dirigeants qui achètent 10 doses de vaccins contre le covid19
par habitant en Europe.
Tu peux nous dire combien de doses tu as reçu ou dans ton entourage.
Et alors les autres doses sont passées où?
Qui a payé les doses non fournies.
ça c'est du business complotiste.
Et si les politiques étaient convaincus des 10 doses, est-ce parce que les labos savaient qu'il fallait revacciner tous les 3 mois ?
Donc le complotisme scientifique te demande.

10 doses par habitants, pour un mathématicien comme toi cela t'évoque quoi ?
Cela te parle les chiffres, ou alors tu fais des maths abstraites toute la journée?

Oui Beagle, tu es le digne représentant du complotisme classique sauce antivax / Raoultisme.

On a un inclassable aux relents climatosceptique, à coup de vidéos youtubes variées.

Et un unique en son genre, qui défend un complot contre les probabilités qui seraient connus de tous mais enseignées par personne
puisque les profs et les matheux ont tout oublié du passé (le fait qu'ils soient capable de démontrer tous les théorèmes du XXeme siècle).
Avec quelques idées cocasses comme "les générateurs de nombres aléatoires triche" ou encore "en maths c'est comme on veut"...
Point bonus pour le refus de définir proprement quoi que ce soit, et l'usage de termes à contre sens de toute la littérature scientifique
(tirage uniforme pour "identiquement distribué", loi normale qui serait un théorème, postulat de la moyenne...).

Y'a un peu de poutinophilie ici et là pour compléter la tableau.

"Oui Beagle, tu es le digne représentant du complotisme classique sauce antivax / Raoultisme."

antivax je préconisais depuis le début une vaccination des sujets à risques.
cela me parait provax.
Je prétends que la vaccination ARN était une expérience , oui, oui.
Expérience dans laquelle je rentre si j'ai 80 ans quand le covid arrive.
J'ai donné tous les éléments inconnus au moment de la vaccination qui font que la maitrise des doses de toxine fabriquée n'est pas du niveau de sécurité de l'administration d'un médicament ou d'une dose de toxine d'un vaccin habituel. cela à voir avec le poids de ce qui injecté dans un cas et l'absence de garantie de la quantité fabriquée si ARN messager..

Sur Raoult, je ne vais en prendre qu'une seule.
La dose toxique de l'étude recovery, j'ai mis la dose toxique du Vidal qui oblige à hospitaliser un jeune de 20 ans qui aurait absorbé 12 cps d'hcq.
Ce jeune serait hospitalisé et suivi en réa cardio.
Donner cette dose à une personne de 75 ans hospitalisée en réa, la plus à meme d'ètre a un mioment donné en hypokaliémie,
est médicalement monstrueux.
Mais si tu ne sais pas compter et lire une dose maxi tu n'as pas de raison d'ètre complotiste.

Bonjour,
S'il vous plait, ne faisons pas de hors-sujet.
Il y a 4 messages qui n'ont rien à faire ici.

Bonjour,
Après une incursion sauvage, on revient au sujet du fil.
Je tenais à faire un petit résumé de ce qui a été dit. La partie concernant la loi exponentielle fera l'objet d'un autre message.

Après une présentation, La réponse de Humx3 "tout le monde sauf vous connait la théorie".
Evocation du problème du retard, rappel de mon "ignorance de certaines expressions, petite référence à une discussion concernant les courbes de Lorenz, petite référence à la discussion concernant la loi de Cauchy.
Par contre Humx3 confirme et répète que tout le monde, sauf moi, est d'accord. On peut noter au passage qu'il n'y a pas eu réponse à ma question concernant des exemples d'utilisation de cette théorie.
Intervention ponctuelle de Léon, sans grand conséquence et sans suite.

Réaffirmation de ma part de la signification du second théorème de Bernoulli connu sous le nom de loi normale. Réponse de Humx3 "C'est vrai" "les écarts à la moyenne sur une suite de n épreuves n'ont aucune raison de se distribuer suivant une loi normale.". Cours de Levallois pris à témoin. On peut lire "à peu près distribué ...", en maths l'expression "à peu près" est assez surprenante. Nouvelle référence à la loi de Cauchy.

Là on aborde un point important : l'affirmation de la répartition normale des écarts à la moyenne est fausse, pour preuve : la loi exponentielle. Personnellement je considère que la loi exponentielle est une loi de non-probabilité. Elle est présentée comme une loi "sans mémoire", c'est à dire qu'elle n'entre pas dans le cadre de la théorie des probabilités.

La suite du fil concerne cette loi exponentielle, le résumé des échanges sera dans le prochain message.

SUITE du résumé.
Maintenant il s'agit de discuter de la loi de probabilité dite exponentielle. On sait qu'il s'agit d'une loi dite "sans mémoire", c'est la raison pour laquelle, pour moi, c'est une loi de "non-probabilité" suivant le principe que, contrairement à la signification de "probabilité", elle ne permet rien, puisque justement elle est "sans mémoire".
Essayons d'analyser ce qui se passe. On réalise une expérience du type destructif. C'est à dire que l'on mesure la durée de vie d'un certain nombre d'éléments sans usure ni vieillissement. On en fait la liste et on calcule la médiane, ou la moyenne.
On refait cette expérience N fois. On obtient donc N valeurs pour la médiane (ou la moyenne). Chacune de ces "expériences" est une "épreuve" de mesure d'une même chose qui est la médiane de la durée de vie des éléments considérés. La liste de ces médianes est donc le résultat d'observations d'une même chose et on est bien dans le cadre de la loi normale.
La suite ne présente pas un grand intérêt, puisqu'il s'agit d'un exercice de calcul numérique qui n'a pas beaucoup de rapport avec la théorie des probabilités. C'est en fait un exercice plutôt relatif à l'utilisation d'un modèle existant et dont on connait la formule.

Bonjour,
Dlzlogic, le temps que je vous ai laissé pour méditer n'a pas été mis à profit. Vious n'avez pas vu l'évidence, empêché par les oeillères de vos préjugés.
Chaque pièce équilibrée subit une épreuve de Bernoulli pour réussir à faire pile, avec probabilité de réussite p=0.5
Chaque atome de carbone-14 subit une épreuve de Bernoulli pour réussir à survivre au moins 3000 ans, avec probabilité de réussite p=0.696.
Épreuve de Bernoulli, ça va bien avec ce que vous appelez "second théorème de Bernoulli", qui dit ce qui se passe quand on répète un grand nombre n de fois des épreuves de Bernoulli de probabilité de réussite p : le nombre de succés a une répartition à peu près normale, centrée sur n*p et d'écart-type racine(n*p*(1-p)). Cela vaut pour le nombre de piles, cela vaut aussi pour le nombre d'atomes survivants.
Une simulation ? Aucun problème, on simule facilement une épreuve de Bernoulli de probabilité de réussite p.

Code:

import numpy as np
import random as rd
import matplotlib.pyplot as plt

def repart_nb_surv(t,n,k) :
    # proba pour un atome de C-14 de survivre au moins t années
    p = np.exp(-np.log(2)/5730*t)
    # L liste de nombres de survivants
    L = np.zeros(k)
    # Remplir L avec les nombres de survivants parmi n au bout de t années
    for i in range(k) :
        s = 0
        for _ in range(n) :
            s += (rd.random() < p)
        L[i]=s
    # Moyenne et écart-type
    m = np.mean(L) ; mth = n*p
    e = np.std(L) ; eth = np.sqrt(n*p*(1-p))
    # Affichage des résultats
    rmin=mth-4*eth ; rmax=mth+4*eth
    fig, ax = plt.subplots(1, 1)
    ax.hist(L, density=True, bins=16,alpha=0.3)
    ax.set_xlim([rmin, rmax])
    x = np.linspace(rmin,rmax,100)
    ax.plot(x,np.exp(-(x-mth)**2/(2*eth**2))/(np.sqrt(2*np.pi))/eth,
             color="red",lw=5, alpha=0.6, label="Distrib. de Gauss")
    ax.legend(loc='best', frameon=False)
    plt.title("Répartition de {} nombres d'atomes de C-14 survivants\n\
parmi {} au bout de {} années".format(k,n,t))
    plt.show
    print("moyenne = {:.2f} (théorique = {:.2f}) ; \
écart-type = {:.2f} (théorique = {:.2f})".format(m,mth,e,eth))

Pour 3000 ans :
moyenne = 695.48 (théorique = 695.65) ; écart-type = 14.47 (théorique = 14.55)

Pour 5730 ans :
moyenne = 500.21 (théorique = 500.00) ; écart-type = 15.89 (théorique = 15.81)

Pour 8268 ans :
moyenne = 367.77 (théorique = 367.82) ; écart-type = 15.11 (théorique = 15.25)

Bonjour,
Une nouvelle perle qui vient s'ajouter à une collection impressionnante :

Dlzlogic a écrit:la loi de probabilité dite exponentielle ... est une loi de "non-probabilité" suivant le principe que, contrairement à la signification de "probabilité", elle ne permet rien, puisque justement elle est "sans mémoire".

Dire que la durée de vie d'un noyau radioactif suit une loi exponentielle de paramètre λ, c'est dire que la PROBABILITÉ qu'un tel noyau ait une durée de vie supérieure ou égale à t est exp(-λ*t).
Après, que ça ne permette pas à Dlzlogic de répondre à des questions élémentaires de probabilités, c'est le problème de Dlzlogic, pas celui de la loi exponentielle.