Exercice sur l'écart-type.

La fonction Gamma est une généralisation directe de la notion de factorielle pour des nombres réels non entiers. Ca, je pense que tu aurais pu me le dire !

Je te rappelles que
1) tu n'as toujours pas compris que si X est une variable aléatoire X^2 aussi
2) c'est pas comme si sur wikipédia (où je t'ai renvoyé), juste après la définition il y avait un lien vers l'article présentant la fonction Gamma.

Il n'y a pas de moyen simple de la calculer. Par contre il y a plein de bibliothèque qui le font très bien.
Enfin si c'est pour refaire une fonction de calcul de la fonction de répartition d'un chi2 pourquoi ne pas prendre une bibliothèque qui sait faire cela plutôt que de réinventer (mal) l'eau chaude ?

Je réponds rapidement à ce message, concernant la fonction Khi². Je n'ai pas trouvé d'autre utilisation de cette loi qu'une application de la loi normale. Donc, pour moi cette loi reste une méthode de vérification de répartitions particulières. Outre la vérification de la normalité du résultat d'une expérience aléatoire, cf. Mendel, il y a eu un exemple intéressant avec le nombre de client dans un restaurant, chaque jour de la semaine.
Effectivement mes essais de recherche de formule pour G(x) x réel n'ont rien donné.
Ma fonction TireAlea() revient à une lecture de la table de répartition avec interpolation linéaire.
Je vais répondre à ta question "Bon ce que je te propose maintenant c'est que tu fasses une affirmation précise sur la distribution de ces écart-types empiriques
qui seraient Gaussien (tu n'as pas répondu a comment ils peuvent être Gaussien et positif d'ailleurs...) du genre :
j'affirmes que Prob(ecart-type empirique \in [2-0.5,2+0.5]) = ... si possible avec un paramètre à la place de 0.5, mais je veux bien une
valeur numérique. Et on verras si les simulations confirment...", mais il me faut un peu de temps.

Je réponds rapidement à ce message, concernant la fonction Khi². Je n'ai pas trouvé d'autre utilisation de cette loi qu'une application de la loi normale. Donc, pour moi cette loi reste une méthode de vérification de répartitions particulières.

Qu'est-ce que cela signifie ?
Une variable aléatoire qui suis une loi du Chi^2 est une variable aléatoire particulière.
Comme les v.a. qui suivent une loi exponentielle, ou uniforme, ou normale, ou lognormale, ou de Poisson, ou de Weibull ou de Student ou de Cauchy...

On modélise rarement directement un phénomène réel par une loi du Chi^2 (alors que les loi exponentielle, uniforme ou normale sont plus courante).
En revanche elle apparaît naturellement dans un certain nombre de test statistique.
Les deux plus courant :
- vérifier que des données sont compatible avec une répartition théorique (exemple je lance 1000 fois un dé et je veux savoir si il est équilibré, je cherche
donc à vérifier que les données sont compatible avec la loi uniforme sur {1,2,3,4,5,6} --> test d'adéquation en loi (voir p270 par exemple https://cermics.enpc.fr/~delmas/Enseig/ensta_cours.pdf )
- vérifier l'indépendance de deux lois discrètes (typiquement : fumer / ne pas fumer et être atteint du cancer / ne pas être atteint --> le test va permettre d'affirmer que les données contredisent l'hypothèse d'indépendance voir p271)
- vérifier que les donnes suivent bien un certain type de loi (par exemple on suppose que le nombre de visiteur est une loi de poisson)

On évite d'utiliser le Chi2 pour tester la normalité des données par contre.

Effectivement mes essais de recherche de formule pour G(x) x réel n'ont rien donné.

Je n'ai pas compris à quoi tu faisais référence. Tu cherches l'expression de Gamma(x) ? https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_gamma
premier paragraphe. Gamma est donné comme une intégrale impropre. Et pour la fonction de répartition d'un chi2 il te faut la fonction gamma incomplète https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_gamma_incompl%C3%A8te

Ma fonction TireAlea() revient à une lecture de la table de répartition avec interpolation linéaire.

Heu, tu veux dire que tu as voulut coder un générateur de nombre aléatoire gaussien ? Mais pourquoi ne pas en prendre un dans une bonne bibliothèque ?

Dans l'énoncé, la variable aléatoire étudiée est la valeur de l'écart-type.
Naturellement un écart-type est un nombre positif, comme une longueur.
Soit S la liste des écarts à la moyenne M vraie (10mm dans le cas précis) observés sur les pièces. Ces écarts sont tantôt positifs, tantôt négatifs, on sait que 2/3 de ces écarts sont inférieurs à 2mm.
Soit "ET" l'écart-type calculé à partir d'un lot de 25 pièces prélevées au hasard. La question posée est de comparer l'écart-type ET observé sur un lot à l'écart-type vrai de 2mm de la production.
On dit qu'une telle liste S a une répartition normale si les écarts à la moyenne, tantôt positifs, tantôt négatifs, ont une répartition gaussienne et par abus de langage on dit aussi que la liste des "ET" observés, c'est à dire sur plusieurs lots de 25 pièces, a une répartition gaussienne, la moyenne de ces "ET" est proche de la moyenne vraie, les écarts à cette moyenne sont symétriques et satisfont la répartition normale.
Si on prend une pièce, l'écart a 67% de chance d'être inférieur à l'écart-type vrai : 2mm.
Si on prend deux pièces, l'écart type observé sera rac(2) fois plus petit. C'est l'application de la loi normale.
C'est l'application habituelle des lois des probabilités :
1- postulat de la moyenne
2- Loi des grands nombres
3- loi normale.
Ceci est parfaitement détaillé dans le cours de Levallois et très bien expliqué dans le cours de l'université de Toulouse wikistat.fr

Lu ton dernier message

Heu, tu veux dire que tu as voulut coder un générateur de nombre aléatoire gaussien ? Mais pourquoi ne pas en prendre un dans une bonne bibliothèque ?  

J'ai toujours écrit mes modules moi même, même mon éditeur de texte. A titre d'exemple, j'ai montré que la fonction rand() de certains logiciels orientés maths n'était pas bonne.

Comme les v.a. qui suivent une loi exponentielle, ou uniforme, ou normale, ou lognormale, ou de Poisson, ou de Weibull ou de Student ou de Cauchy...

Ces lois que tu cites sont les lois de l'expérience. La répartition du résultat est toujours conforme à la répartition normale, c'est à dire que les écarts à la moyenne sont symétriques par rapport à cette moyenne et leur répartition est conforme à la répartition normale. La loi de Cauchy est un peu particulière, mais une simulation dans un contexte non débile, c'est à dire conforme avec le monde réel, entre aussi dans ce contexte. Simulation à ta disposition.  
Je suis totalement certain de ce que j'écris.
Petite illustration simple : la planche de Galton suit une loi binomiale, c'est incontestable, le résultat est conforme à la loi normale, ça se voit sur les simulations visuelles. Autre illustration, l'usure des seuils suit une loi uniforme, on voit très la courbe de Gauss. Ca c'est du visuel, du réel, donc incontestable.

J'ai lu les pages indiquées 170 et 171. Je suis très impressionné par le test du nombre de naissances suivant les jours de la semaine. A-t-on fait un test comparable suivant que le n° de la date est un nombre premier ou pas, et je ne sais quoi d'autre ?Tu devrais tout de même lire le cours wikistat.fr de l'université de Toulouse, c'est quelque-chose de sérieux.
Je connais ton seul argument, "moi, c'est mon métier, donc je sais, donc tu as tort".
Je te rappelle que j'ai écrit un papier soigneusement et sérieusement. Certaines "expériences" que je cites peuvent te paraitre aussi invraisemblables que l'histoire des jours de naissance. Par contre, tu peux les reproduire autant de fois que tu veux, tu auras toujours le même résultat. Si tu as des critiques sur ce papier, dis-le, j'essayerai d'y répondre.
L'histoire des naissances m'a bien amusé. Je préfère tout de même l'histoire du nombre de clients par jour de la semaine.
Bon, si tu voulais me convaincre de l'intérêt du test du Khi², là c'est raté.
Je précise tout de même : je comprends parfaitement l'intérêt du test du Khi², mais dans le contexte des outils informatiques dont on dispose, sauf cas particulier, il n'a d'intérêt que historique. Et c'est sûrement pas le chapitre cité qui me fera changer d'avis.

@ Sylviel,
Juste un mot sur la définition d'une variable aléatoire.
C'est une fonction, c'est écrit dans tous les cours.
Soit V une variable aléatoire. Disons qu'elle a un domaine de définition, je crois qu'on appelle ça l'univers. Elle ne prend aucune variable x, par contre elle renvoie des valeurs vi, autant de fois qu'on lui demande. La façon de renvoyer ces valeurs dépend de la loi de probabilité de cette fonction. Si on veut multiplier deux variables aléatoires, je ne sais pas ce qu'on multiplie, contrairement aux fonctions non aléatoires où pour chaque de valeur de la variable x, on multiplie les valeurs renvoyées par la fonction.
Lorsqu'on parle de liste de variables aléatoires V, W, X, Y, on parle de différentes fonctions souvent (et de préférence) indépendantes. Il est assez compréhensible de "sommer" ces différentes variables, par exemple, dans le cas du tir sur cible, le vent, la présence d'un insecte, les défauts du projectile etc. Il en résultera une variable aléatoire "somme" de variables aléatoires élémentaires et inconnues. La répétition d'une expérience avec cette variable "somme" a des caractéristiques fondamentales.

Soit S la liste des écarts à la moyenne M vraie (10mm dans le cas précis) observés sur les pièces. Ces écarts sont tantôt positifs, tantôt négatifs, on sait que 2/3 de ces écarts sont inférieurs à 2mm.
Soit "ET" l'écart-type calculé à partir d'un lot de 25 pièces prélevées au hasard. La question posée est de comparer l'écart-type ET observé sur un lot à l'écart-type vrai de 2mm de la production.
On dit qu'une telle liste S a une répartition normale si les écarts à la moyenne, tantôt positifs, tantôt négatifs, ont une répartition gaussienne et par abus de langage on dit aussi que la liste des "ET" observés, c'est à dire sur plusieurs lots de 25 pièces, a une répartition gaussienne, la moyenne de ces "ET" est proche de la moyenne vraie, les écarts à cette moyenne sont symétriques et satisfont la répartition normale.
Si on prend une pièce, l'écart a 67% de chance d'être inférieur à l'écart-type vrai : 2mm.
Si on prend deux pièces, l'écart type observé sera rac(2) fois plus petit. C'est l'application de la loi normale.

Bon comme d'habitude c'est un fouilli incroyable et il n'y a pas la formulation précise demandée.
En prenant tes notations, soit ET l'écart-type mesuré de 25 pièces prélevées au hasard.

Affirmes tu que "P( 2-... <= ET <= 2 + ... ) = 0.67" (je n'ai pas compris ce que tu mettais dans les ... puisque tu reparles des écarts d'une pièce et pas de l'écart-type mesuré des 25 pièces)
Affirmes tu que "P(2-a <= ET<=2) = P(2<= ET <= 2+a)" par symétrie ?
--> Si oui comment expliques-tu :
a) que mes simulations montre bien, conformément à la théorie que je t'ai expliqué, que ce n'est pas le cas
b) que ET puisse être au dessus de 4 et pas en dessous de 0 ?

Ces lois que tu cites sont les lois de l'expérience. La répartition du résultat est toujours conforme à la répartition normale, c'est à dire que les écarts à la moyenne sont symétriques par rapport à cette moyenne et leur répartition est conforme à la répartition normale. La loi de Cauchy est un peu particulière, mais une simulation dans un contexte non débile, c'est à dire conforme avec le monde réel, entre aussi dans ce contexte. Simulation à ta disposition.
Je suis totalement certain de ce que j'écris.

Définis proprement (on peut toujours rêvé) le "résultat" d'une expérience.

J'ai un variable aléatoire X qui suis une loi que je connais (disons exponentielle de paramètre 1) c'est quoi le "résultat" de cette loi qui devrait suivre la loi normale ?

Ou pour reprendre l'exemple dont on parlais : ET c'est la "loi de l'expérience" ou le "résultat".

Je connais ton seul argument, "moi, c'est mon métier, donc je sais, donc tu as tort".

Tu te rends compte que j'ai
1) avancé des résultats précis, compréhensible, rigoureux
2) les ai démontré à l'aide d'outils mathématiques connus et partagé
3) ai donné des références variées (cours, livres, wki...) justifiants toutes ces résultats
4) fait des simulations avec des outils connus (pas recodé dans mon coin on ne sait trop comment)
qui matche à la perfection la prédiction (contrairement à tes pourcentages théorique / réel sur tes fameuses tables avec des H)

Et tu dis que mon seul argument c'est "moi, c'est mon métier, donc je sais, donc tu as tort"...

Je te rappelle que j'ai écrit un papier soigneusement et sérieusement.

La bonne blague. Ton papier est un torchon. Pas une seule définition précise, pas un seul résultat propre, et bourré d'erreurs et de contre sens que j'ai déjà pointé.
D'ailleurs on voit bien comment tu réponds au question que je pose : je te demande une affirmation précise sur ET que l'on peut vérifier par simulation (comme la dizaine que j'ai donné et vérifié plus faut),
et aucune de ton côté.

Je précise tout de même : je comprends parfaitement l'intérêt du test du Khi², mais dans le contexte des outils informatiques dont on dispose, sauf cas particulier, il n'a d'intérêt que historique

Non tu ne comprends rien au Chi^2 pour écrire cela. Mais cela ne me surprends pas.

Juste un mot sur la définition d'une variable aléatoire.
C'est une fonction, c'est écrit dans tous les cours.
Soit V une variable aléatoire. Disons qu'elle a un domaine de définition, je crois qu'on appelle ça l'univers. Elle ne prend aucune variable x, par contre elle renvoie des valeurs vi, autant de fois qu'on lui demande. La façon de renvoyer ces valeurs dépend de la loi de probabilité de cette fonction. Si on veut multiplier deux variables aléatoires, je ne sais pas ce qu'on multiplie, contrairement aux fonctions non aléatoires où pour chaque de valeur de la variable x, on multiplie les valeurs renvoyées par la fonction.

Oui donc j'ai deux variables aléatoires :
G: {P,F} -> R telle que G(P) = 0, G(F) = 1
H: {P,F} -> R telle que H(P) = 1, H(F) = 2
et leur produit est tout naturellement
G.H{P,F} -> R telle que GH(P) = 0*1=0, GH(F) = 1*2=2

Bref. Le B-A-BA des fonctions en fait.

Et sinon comment interprète tu la définition de la variance d'une variable aléatoire si tu ne sais pas ce qu'est le produit de variable aléatoire ?
Var(X) = E(X^2 - E(X)^2) ?

Bonjour,
Je commence par la fin : cette fameuse formule de Koenig ! Essaye de la démontrer, tu verras qu'à un moment tu simplifies, or cette simplification n'est possible que pour n, le nombre de xi, tend vers l'infini. En fait dans la vraie logique de la démonstration de ces notions, cette formule est une déduction de la définition si tous les pi (les probabilités de chaque élément) sont égaux. C'est expliqué dans les toutes premières pages de mon cours.

Affirmes tu que "P( 2-... <= ET <= 2 + ... ) = 0.67" (je n'ai pas compris ce que tu mettais dans les ... puisque tu reparles des écarts d'une pièce et pas de l'écart-type mesuré des 25 pièces)
Affirmes tu que "P(2-a <= ET<=2) = P(2<= ET <= 2+a)" par symétrie ?
--> Si oui comment expliques-tu :
a) que mes simulations montre bien, conformément à la théorie que je t'ai expliqué, que ce n'est pas le cas
b) que ET puisse être au dessus de 4 et pas en dessous de 0 ?

La réponse est là : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89cart_type

La bonne blague. Ton papier est un torchon. Pas une seule définition précise, pas un seul résultat propre, et bourré d'erreurs et de contre sens que j'ai déjà pointé.

Tu pourrais au moins dire
1- où il faudrait une "définition précise"
2- où il faudrait un "résultat propre"
3- où il y a des "erreurs"
4- où il y a des contre-sens.
Si tu as déjà "pointé" certaines choses, merci de me les rappeler.

Je te rappelle le nom du site de l'université de Toulouse : wikistat.fr

J'ai un variable aléatoire X qui suis une loi que je connais (disons exponentielle de paramètre 1) c'est quoi le "résultat" de cette loi qui devrait suivre la loi normale ?

Très bonne question, j'avais oublié d'y répondre.
On en parle de temps en temps dans diverses exos. Cette loi a plusieurs caractéristiques particulières. C'est un évènement particulier et extérieur qui provoque l'arrêt de l'expérience, donc le top au résultat. J'ai cru lire qu'on parlait d'espérance, et on calcule la moyenne ! Ben non, l'espérance, c'est la médiane. Il est vrai qu'il y a une relation précise entre la moyenne et la médiane, mais en mathématiques, il est indispensable d'avoir de la rigueur.
Bien-sur comme toutes les lois de probabilité, elle répond à la définition du TCL (ie la loi normale). Je connais un chat belge qui a très bien compris cela.
https://www.sciencepresse.qc.ca/blogue/2017/03/14/theoreme-central-limite-explique-chat

Bonjour,
Je reviens sur ce test du Khi².
Mon support est le cours de l'université de Toulouse : wikistat.fr.
D'abord, je n'ai lu aucune référence à la "loi du Khi²". Naturellement, il n'est pas interdit de déclarer comme ayant une loi de probabilité, une variable qui correspondrait à une certaine fonction, mais les auteurs de ce cours n'ont pas jugé utile de le faire.
Les hypothèses d'utilisation de ce test sont assez strictes, aucune classe ne doit être vide, les classes doivent contenir au moins 5 valeurs etc. En d'autres termes, ce test a une utilisation pour des contrôles particuliers, type loi de Mendel, comparaison de deux ensembles.
Dans le cas de l'exercice qui a fait l'objet de ce fil, il n'est en aucun cas applicable, cet exercice est une application élémentaire de la loi normale.
On peut regretter que certains "spécialistes" de ces notions n'aient pas donné une bonne explication et éventuellement le détail de la correction de l'auteur de l'énoncé.

D'abord, je n'ai lu aucune référence à la "loi du Khi²"

http://wikistat.fr/pdf/st-l-inf-tests.pdf p10

On admet que cette v.a.r. D2
suit une loi du chi-deux
à ν degrés de liberté, quelle que soit la loi considérée, lorsque le nombre n
d’observations tend vers l’infini

Dans le cas de l'exercice qui a fait l'objet de ce fil, il n'est en aucun cas applicable, cet exercice est une application élémentaire de la loi normale.
On peut regretter que certains "spécialistes" de ces notions n'aient pas donné une bonne explication et éventuellement le détail de la correction de l'auteur de l'énoncé.

Dans le fil en question personne ne parle du "test du Chi^2". Tout le monde parle de la loi du Chi^2 qui est suivi par une somme de gaussiennes (indépendantes) au carré,
donc par la variance d'un échantillon gaussien. C'est comme cela que l'on construit les intervalles de confiance.

On peut regretter que certains "spécialistes" de ces notions n'aient pas donné une bonne explication et éventuellement le détail de la correction de l'auteur de l'énoncé.

Elle a été donnée...
Si X_1,..., X_25 est une suite de va iid gaussienne de moyenne 10 et d'écart-type 2 alors par définition d'une loi du chi^2
S = [(X_1 - 10)^2/2^2 + (X_2 - 10)^2/2^2 + ... + (X_25 - 10)^2/2^2 ] suis une loi du Chi2 à 25 degré de liberté puisque chaque ((X_1 - 10)/2) est une gaussienne centrée réduite indépendante des autres.

Donc on peut aisément calculer P(A < S < B) à partir de la fonction de répartition d'une loi du Chi^2 à 25 degré de liberté.
Or l'écart-type ET est par définition \sqrt(S)/5.

J'ai un variable aléatoire X qui suis une loi que je connais (disons exponentielle de paramètre 1) c'est quoi le "résultat" de cette loi qui devrait suivre la loi normale ?

Très bonne question, j'avais oublié d'y répondre.

Remarquons que tu n'y a toujours pas répondu

On en parle de temps en temps dans diverses exos. Cette loi a plusieurs caractéristiques particulières. C'est un évènement particulier et extérieur qui provoque l'arrêt de l'expérience, donc le top au résultat.

C'est une variable aléatoire utile dans certains cas, et alors ?

J'ai cru lire qu'on parlait d'espérance, et on calcule la moyenne ! Ben non, l'espérance, c'est la médiane.

Alors non l'espérance ce n'est pas la même chose que la médiane. Pour la fonction exponentielle il y a un facteur ln(2) mais ça n'a rien a voir avec la choucroute.

Bien-sur comme toutes les lois de probabilité, elle répond à la définition du TCL (ie la loi normale). Je connais un chat belge qui a très bien compris cela.
https://www.sciencepresse.qc.ca/blogue/2017/03/14/theoreme-central-limite-explique-chat

Bon on remarque que si le chat l'a compris, toi visiblement non,
puisque tu n'as toujours pas réalisé que le TCL parle d'une SOMME de variable aléatoires indépendantes (3'40 ou 4')
et pas de la variable aléatoire de départ.

P.S : dans la vidéo en question à 2'50 on voit bien que l'on peut prendre la racine carré de variable aléatoire, ou faire le produit de variables aléatoires...

Affirmes tu que "P( 2-... <= ET <= 2 + ... ) = 0.67" (je n'ai pas compris ce que tu mettais dans les ... puisque tu reparles des écarts d'une pièce et pas de l'écart-type mesuré des 25 pièces)
Affirmes tu que "P(2-a <= ET<=2) = P(2<= ET <= 2+a)" par symétrie ?
--> Si oui comment expliques-tu :
a) que mes simulations montre bien, conformément à la théorie que je t'ai expliqué, que ce n'est pas le cas
b) que ET puisse être au dessus de 4 et pas en dessous de 0 ?
La réponse est là : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89cart_type

Et bien sûr je pose une question précise et tu ne réponds pas. Tu continue d'agiter les bras et de te défiler. Donc je répète la question :
Affirmes tu que "P( 2-... <= ET <= 2 + ... ) = 0.67" (je n'ai pas compris ce que tu mettais dans les ... puisque tu reparles des écarts d'une pièce et pas de l'écart-type mesuré des 25 pièces)
Affirmes tu que "P(2-a <= ET<=2) = P(2<= ET <= 2+a)" par symétrie ?

Je demande une affirmation précise, sur ET. Comme noté moi j'en ai fait plusieurs avec plusieurs chiffres significatifs, je les ais justifiées et j'ai même fait les simulations qui confirment la théorie.
Et toi ?

Allez je vais même encore descendre le niveau de la question :

prétends tu que si je tire, disons N=10^3 listes de 25 nombres, chacun étant tiré aléatoirement selon un loi normale de moyenne 10 et d'écart type 2.
Pour chaque liste l de 25 nombre x1, ..., x25 je calcule l'écart-type :
ET_l = \sqrt{ (x1 - 10)^2 + (x2 - 10)^2+ ... + (x25 - 10)^2  }/5

alors j'aurais pratiquement la même proportion de ET_l entre 1.5 et 2 qu'entre 2 et 2.5 par symétrie ?
Pour être parfaitement explicite je parle du nombre de ET_l entre 1.5 et 2 divisé par N, notons le g pour gauche (respectivement entre 2 et 2.5, noté d).
Et que si je passe de N=10^3 à N=10^6 ces deux proportions seront encore plus proche ? Et qu'elles seront égales si N tends vers l'infini ?

OUI ou NON ?

Bon, je ne sais pas très bien ce que tu cherches.
Tu poses des question, j'y réponds, éventuellement par des liens, tu di que je n'ai pas répondu, puis tu passes à autre-chose.
A propos de "loi du Khi²", je voulais parler du chapitre qui y est réservé, et non pas dans l'introduction.

Pour chaque liste l de 25 nombre x1, ..., x25 je calcule l'écart-type :
ET_l = \sqrt{ (x1 - 10)^2 + (x2 - 10)^2+ ... + (x25 - 10)^2  }/5

alors j'aurais pratiquement la même proportion de ET_l entre 1.5 et 2 qu'entre 2 et 2.5 par symétrie ?
Et que si je passe de 10^3 à 10^6 ces deux proportions seront encore plus proche ?

Oui, ces écarts-types sur des lots de 25 pièces admettent une moyenne = 2 et les écarts à la moyenne sont symétriques.
Sur 1000 observations il y a environ 7 valeurs qui dépassent 3 écarts-types. Avec 1 000 000 d'observation il y en aura naturellement plus que les 7 pour 1000, mais certainement pas 7000.  

Quand je fais des simulations, je préfère largement faire 100 fois N tirages (par exemple 50), cela me permet de vérifier la dispersion. Si enne n'est pas normale, alors qu'elle devrait l'être, c'est que j'ai fait une faute.
Il y a peut-être d'autres questions qui sont restées en suspend, repose les, j'y répondrai.
Je te rappelle que j'ai écrit une dizaine de pages pour expliquer cela. Difficile de répondre à tes question en une ligne.

Dans un message précédent, tu me demandes si j'ai fait des simulation. Ben oui, naturellement.

Bon, je ne sais pas très bien ce que tu cherches.

Que tu fasses une affirmation précise, que l'on puisse vérifier par simulation, et que tu reconnaisse enfin que tu te trompes.
Ce serait un premier pas vers une remise en question qui te permettrait d'apprendre les bases des probas.

Tu poses des question, j'y réponds, éventuellement par des liens, tu di que je n'ai pas répondu, puis tu passes à autre-chose.

Non je te demande une affirmation précise, ou une explication à une conséquence de ce que tu avance et tu esquives encore et toujours.

Oui, ces écarts-types sur des lots de 25 pièces admettent une moyenne = 2 et les écarts à la moyenne sont symétriques.

Très bien, tu prétends donc que ces deux proportions seront presque identique.

Et bien moi j'affirme le contraire. Ces écart-types suivent la racine d'une loi du Chi^2 la distribution est donc asymétrique.
Avec la fonction julia donnée précédemment (à partir des fonctions de répartition d'une Chi^2) je prédis :
une proportion de 0.49825 à gauche
une proportion de 0.426062 à droite

Faisons la simulation pour voir qui a raison :

Code:

import numpy as np

Nmc = 10**5 #nombre de liste tirées
ecart = 0.5


g = 0 # nombre d'ET dans [2-ecart,2]
d = 0 # nombre d'ET dans [2, 2+ecart]

for i in range(Nmc):
  L = np.random.normal(loc=10, scale=2.0, size=25) # liste de 25 nombre tire selon une gaussienne
  ET = np.sqrt(sum( (x-10)**2 for x in L )/25) # ecart-type de l'echantillon
  if ET > 2-ecart:
    if ET < 2:
      g += 1
    else:
      if ET < 2+ecart:
        d +=1

g = g/Nmc
d = d/Nmc

print("proportion à gauche ",g)
print("proportion à droite ",d)


que tu peux faire tourner ici : https://repl.it/repls/QuarrelsomeCyberSolaris

Et j'obtiens les proportions que la théorie prévoit, qui ne sont bien évidemment pas symétrique.
Pour info avec julia sur ma machine (plus puissant, mais pas en ligne) avec le code donné plus haut j'obtiens sur 10^7 listes :
g = 0.4983738
d = 0.4261861

Bon alors de deux choses l'une :
- soit tu trouves une erreur dans le code (je n'ai utilisé aucune fonction avancée, seulement un générateur de nombre suivant une loi normale d'une bibliothèque scientifique reconnue)
- soit tu admets que ce que tu avançais était faux.

Enfin une troisième possibilité, la plus probable : tu vas sortir ta mauvaise foi légendaire pour éviter de te remettre en question.

Et sinon une autre question simple que je t'avais posé et qui reste sans réponse :
sais tu calculer P(a < ET < B) = c avec a,b,c les nombres qui te plaisent (j'ai proposé de remplie P(2-... < ET < 2+ ...) = 0.67 par exemple)
avec ta théorie ? L'as tu vérifié précisément par simulation ?

Ma réponse sera très claire et très précise : tes conclusions sont fausses.
Les 25 pièces sont tirées de façon uniformément aléatoire. Donc c'est une loi uniforme. Que vient faire le suffixe "normal" à la fonction rand ?
Pour la seconde question. oui, je sais le calculer, a et b sont l'écart-type, cf le lien su wikipédia.
J'ai listé le code qui m'a servi à faire les simulations. Mais promis, demain je reprends ça en détail avec justification.
Pourquoi la somme de tes g et d ne font pas 1 ?

Et voilà la mauvaise foi qui revient au grand galop.

Les 25 pièces sont tirées de façon uniformément aléatoire. Donc c'est une loi uniforme. Que vient faire le suffixe "normal" à la fonction rand ?

je cite l'énoncé :

le diamètre de ces pièces suivait une loi gaussienne de moyenne 10mm et d'écart-type 2mm

le protocole que tu as validé

si je tire, disons N=10^3 listes de 25 nombres, chacun étant tiré aléatoirement selon un loi normale de moyenne 10 et d'écart type 2

où parles-t-on de loi uniforme ? sur quel intervalle d'ailleurs ?

J'ai utilisé la fonction https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.15.0/reference/generated/numpy.random.normal.html qui dis

Draw random samples from a normal (Gaussian) distribution.

En clair, j'ai suivi le protocole sur lequel tu avais donné ton accord, j'obtiens un résultat conforme à la théorie et différent de ce que tu dis,
donc tu te défile.

Pourquoi la somme de tes g et d ne font pas 1 ?

Parce que, si tu avais un peu de rigeur tu aurais lu que :
g = proportion d'ET dans [1.5,2]
d = proportion d'ET dans [2,2.5]
donc 1-g-d est la proportion d' ET en dehors de [1.5,2.5]

Pour la seconde question. oui, je sais le calculer, a et b sont l'écart-type, cf le lien su wikipédia.

Encore des soucis de rigeur : ce n'est pas a et b qui sont l'écart-type d'après toi, mais j'imagines que tu veux dire
a = 2-e, b= 2+e où e est l'écart-type. De quoi ce n'est pas précisé.
Peut être du diamètre (auquel cas c'est 2, et on a [0,4] qui a bien plus que 67%)
ou alors l'écart-type de ET, mais sais-tu le calculer ?
Une rapide estimation donne 0.288, auquel cas [2-e,2+e] a pour proba 0.69 (et non pas 0.67).
Et on aura toujours l'asymétrie : 0.367 contre 0.324.

J'ai listé le code qui m'a servi à faire les simulations.

Oui qui fait appel à des fonctions de ton cru qui sont inconnue et non maîtrisées. D'ailleurs tu as fait des simulations mais on ne sait pas trop dans quel but puisque tu n'as pas annoncé le résultat que tes simulations doivent illustrer. D'ailleurs dans tes simus tu obtiens du 21% au lieu de 25, du 7 au lieu de 10 et tu en conclus : tout fonctionne comme en théorie.
Mes simulations matchent mes prédictions au pour mille près au moins.

Bon, demain ou tout à l'heure je ferai la simulation prévue, mais je vais tout de même répondre un peu.
Je n'accepte pas que tu m'accuses d'être de mauvaise foi.

le diamètre de ces pièces suivait une loi gaussienne de moyenne 10mm et d'écart-type 2mm

traduction : les pièces son fabriquée avec une seule machine (ou des machines identiques). Des mesures on permis de vérifier cela en produisant la dimension moyenne et l'écart-type. L'énoncé précise "loi gaussienne" pour éviter toute discussion, mais il aurait aussi pu dire "même machine inusable". Un production dans ces conditions a une répartition des écarts à la moyenne conforme à la loi normale. Je sais que tu l'ignores, mais cela n'empêche pas que c'est vrai.

si je tire, disons N=10^3 listes de 25 nombres, chacun étant tiré aléatoirement selon un loi normale de moyenne 10 et d'écart type 2

Oui, j'imagine que tu ne comprends pas bien cela. C'est l'expression "selon un loi normale de moyenne 10 et d'écart type 2" qui définit l'intervalle. C'est aléatoire, puisque la lecture de ma table est aléatoire. Il est vrai que j'aurais pu prendre une autre méthode, mais j'ai fait comme ça, c'est surtout à cause du nombre de pièces assez petit dans chaque lot.

L'expérience a montré que la compréhension de la fonction rand par les auteurs des logiciels de maths n'était pas la bonne, alors, donne moi le code de cette fonction et je te dirai ce que j'en pense.

Sylviel a écrit:Mes simulations matchent mes prédictions au pour mille près au moins.

Cela prouve que tes simulations sortent un résultat théorique. En effet d'après les très nombreuses simulation que j'ai faites, l'écart entre la théorie et la réalité d'un tirage aléatoire est d'environ 2%.

Là on discute encore dans le vide, écris clairement tes critiques sur mon papier "Notion de probabilités". C'est trop facile de réagir sur une phrase d'une demi-ligne sortie de son contexte.
A demain.

traduction : les pièces son fabriquée avec une seule machine (ou des machines identiques). Des mesures on permis de vérifier cela en produisant la dimension moyenne et l'écart-type. L'énoncé précise "loi gaussienne" pour éviter toute discussion, mais il aurait aussi pu dire "même machine inusable". Un production dans ces conditions a une répartition des écarts à la moyenne conforme à la loi normale. Je sais que tu l'ignores, mais cela n'empêche pas que c'est vrai.

Non c'est faux. Il n'y a que dans ta tête que cela est vrai.

Oui, j'imagine que tu ne comprends pas bien cela. C'est l'expression "selon un loi normale de moyenne 10 et d'écart type 2" qui définit l'intervalle.

Ben non. L'expression "selon une loi normale de moyenne 10 et d'écart-type " signifie que l'on tire selon une loi gaussienne ayant ces deux paramètres. Toutes les bibliothèques scientifiques et même de base de la plupart des langages incorporent un simulateur Gaussien. Et une loi Gaussienne de moyenne 10 et d'écart-type 2 n'est pas uniforme sur un intervalle. C'est fou ce que tu peux être de mauvaise foi... Une loi uniforme est bornée une Gaussienne non. Comment peux-tu les confondre ?

C'est aléatoire, puisque la lecture de ma table est aléatoire. Il est vrai que j'aurais pu prendre une autre méthode, mais j'ai fait comme ça, c'est surtout à cause du nombre de pièces assez petit dans chaque lot.

Aléatoire peut-être mais pas Gaussien. Il y a plusieurs loi de probabilité. Plusieurs options aux simulateurs ce n'est pas pour rien.

L'expérience a montré que la compréhension de la fonction rand par les auteurs des logiciels de maths n'était pas la bonne, alors, donne moi le code de cette fonction et je te dirai ce que j'en pense.

Et ben. Ton égo n'a pas d'égal. Toi qui sors connerie sur connerie, qui est incapable de faire une simulation qui matche les prédictions tu prétends maintenant que l'ensemble des mathématiciens qui produisent des logiciels scientifiques ne savent pas faire un générateur de nombre aléatoire.

Cela prouve que tes simulations sortent un résultat théorique. En effet d'après les très nombreuses simulation que j'ai faites, l'écart entre la théorie et la réalité d'un tirage aléatoire est d'environ 2%.

Ben oui. C'est bien ce que je dis. Tu calcules des chiffres sans queue ni tête, tu as une différence monumentale entre ce que tu prétends et ce que tu observes et tu conclues "j'ai raison"...

Là on discute encore dans le vide

INCROYABLE. Je prends un exemple précis. Un protocole précis. Je te montre la théorie, que les simulations correspondent à la réalité et tu dis qu'on "discute dans le vide".

Mais on est bien d'accord. Je dis "tirage selon une loi normale". J'utilise numpy.random.normal() qui tire selon une loi normale. Je donnes un résultat théorique. Je simule et la simulation matche la théorie.
Et tu ne te remets pas en question.

Allez ta mauvaise foi est sans limite que tu l'acceptes ou non.

Un dernier argument auquel tu n'as pas répondu : si ET suivait une loi normale il aurait une probabilité non nulle d'être négatif.

Bonjour,

Un dernier argument auquel tu n'as pas répondu : si ET suivait une loi normale il aurait une probabilité non nulle d'être négatif.

ET est l'écart-type sur un lot de 25. ET est forcément positif, c'est évident.
L'énoncé demande l'évaluer les bornes entre lesquelles [85% des] les valeurs de ET se trouveront. J'ai déjà dit que la sécurité de 15% était un problème à part, je ne l'ai mis là que pour mémoire.
Si on fait un grand nombre de mesures de ET, on sait que on va obtenir une liste "normale". Cela veut dire que les ET vont tendre vers la moyenne arithmétique, en l'occurrence la valeur vraie de l'écart-type de la fabrication, et que les différents écarts à cette moyenne vraie auront une répartition normale. Tu peux toujours dire que c'est pas vrai, que j'invente, tout ce que tu veux, c'est pas grave.
Il est clair que ces différents écarts à l'écart-type vrai seront tantôt positifs, tantôt négatifs, je t'ai déjà dit qu'il arrivait de faire un abus de langage et de dire qu'une liste avait une répartition "normale" signifiait qu'elle respectait la loi normale à une translation et une mise à l'échelle près, c'est à dire la transformation pour arriver à la loi normale centrée réduite.

Le 17 oct, j'ai fait la simulation que tu demandes, que veux-tu de plus ? Il y a le code et le résultat. Si tu veux quelque-chose d'autre, dis-le.

J'avais dis que je ne reviendrais plus. Ca ne sers à rien tu refuses obstinément de reconnaître tes erreurs. J'ai fait un dernier bout de code :
https://repl.it/repls/IdleTurboGeeklog dessus tu verras ton tableau que tu affectionnes tant (les classes par "écart probable" qui doivent, d'après toi, toujours vérifier une répartion normale). J'ai calculé les vrais % théoriques pour différentes lois, et simulé les lois en question pour avoir les % empirique. Tu remarqueras que :
- si on génère les nombres selon une gaussienne on a bien les % que tu écris partout (avec haute précision si on prends n suffisamment grand)
- si on génère selon une autre loi on a bien les % que j'annonce pour chaque loi (avec haute précision si on prends n suffisamment grand)

C'est ça vérifier empiriquement un résultat théorique : si n devient grand la différence s'amenuise, elle ne reste pas "à quelque %".

que veux-tu de plus ?

Que tu admettes que tu racontes des conneries. Mais ça c'est hors de portée.

Enfin sinon pour ton code je te l'ai dis : on ne sait pas comment tu simule les valeurs selon une loi normale.

On s'est mis d'accord sur un protocole, avec les diamètres tirés selon une loi normale par liste de 25 dont on calcule l'écart-type ET. Tu as annoncé que ce serait une loi normale symétrique. J'ai dis que non, annoncé les % théoriques, fait une simulation qui suis le protocole établi, la simulation matche ma prédiction. Mais toujours pas de remise en question.

Relis simplement le TCL.

Je te rappelles qu'à la question

prétends tu que si je tire, disons N=10^3 listes de 25 nombres, chacun étant tiré aléatoirement selon un loi normale de moyenne 10 et d'écart type 2.
Pour chaque liste l de 25 nombre x1, ..., x25 je calcule l'écart-type :
ET_l = \sqrt{ (x1 - 10)^2 + (x2 - 10)^2+ ... + (x25 - 10)^2 }/5
alors j'aurais pratiquement la même proportion de ET_l entre 1.5 et 2 qu'entre 2 et 2.5 par symétrie ?
Et que si je passe de 10^3 à 10^6 ces deux proportions seront encore plus proche ?

Tu as répondu OUI.

Donc que reproches-tu à mon code qui montre numériquement, très clairement, que ton affirmation est fausse ?
Et qu'accessoirement mes calculs sont juste.



D'ailleurs si tu veux remplacer le tirage gaussien par un autre tirage (e.g. uniforme) tu auras toujours un déséquilibre gauche droite.
Ce que tu verras si tu faisais des simulations un peu précise.

Relis simplement le TCL.

Tu dévies encore le sujet. Le TCL parle de somme de variables aléatoires indépendantes. Pas des réalisations d'une variable alétoire.
Dans le code que tu trouves https://repl.it/repls/IdleTurboGeeklog je te montre que la réalisation d'une variable aléatoire ne suis pas une répartition
Gaussienne (sauf si la va est gaussienne bien sûr).