Utilité de l'écart-type.

Bonsoir,
J'inaugure ce nouveau sous-forum avec une question que je vais essayer de formuler de façon claire.
Je précise que cette question s'adresse principalement à Parlons. Etant donné les règles très strictes de ce sous-forum, les réflexions hors-sujet, telles qu'on peut les lire par exemple ici : https://dlz9.forumactif.com/t1510-ecart-type-divise-par-n-ou-n-1#19226 sont impossibles.
L'écart-type revient assez souvent dans les question posées par les étudiants, voire par des lycéens.
Ma question : pourquoi cette valeurs est-elle si souvent évoquée ? A quoi sert-elle ?

Cette mesure de la dispersion est omniprésente dans toutes les formules, tous les calculs, quasi tous les tests statistiques,
du plus basique z-score, intervalle de confiance à des tests sophistiqués qui ont besoin de l'écart-type, l'erreur standart ...

Bonjour Beagle,
Cette mesure qui résulte d'un calcul a-t-elle un sens das tous les cas ? Ce qui justifierait le qualificatif de "type".

écart type c'est la traduction française de "standard deviation"
introduit par Pearson,
faudrait lire le livre de Pearson pour la généalogie du terme.

sinon wikiki dit ceci:
"When only a sample of data from a population is available, the term standard deviation of the sample or sample standard deviation can refer to either the above-mentioned quantity as applied to those data, or to a modified quantity that is an unbiased estimate of the population standard deviation (the standard deviation of the entire population)."

donc deux usages,
et ce n'est pas parce qu'un seul de ces usage serait celui que TOI tu utilises que cela serait une justification pour dire c'est comme je dis.

Oui, il y a deux emplois, soit que l'on connaisse la moyenne vraie, par exemple au tirage à pile ou face, avec un dé à jouer, au loto, à la roulette etc, c'est le cas courant pour les expériences à variables discrètes, soit on ne connait pas la moyenne vraie, alors le diviseur est (N-1).

Bonsoir
Ce n'est pas deux emplois de l'écart type,
mais deux estimateurs de l'écart type d'une loi de probabilité (ou d'une "population entière", si on préfère, comme dit dans la citation de Beagle).
Je le répète  : les  /n et /(n-1) sont liés aux estimateurs !
Il y a même d'autres estimateurs utilisés dans des cas spécifiques., par exemple lors de tirages sans remise.

Les mots ont un sens, en français, en math aussi.

Comme l'a dit Beagle, les formules où apparait l'ecart type sont nombreuses. Les emplois de l'écart type le sont tout autant.

Pourquoi parler d'"estimateur de l'écart-type" ? Sa valeur numérique résulte d'un calcul précis.

L'écart-type de l'échantillon relève d'un calcul, oui.

L'écart-type de la loi de probabilité (ou de la population totale, si on préfère) n'est pas connu. C'est pour cela qu'on essaie de l'estimer (via à un échantillon).

@ Parlons,
Je prends un exemple : les sondages.
On fait une statistique sur un échantillon. On calcule la taille de cet échantillon nécessaire. De mémoire, un tel échantillon valable pour la population française est de l'ordre de 1000 personnes. On calcule une moyenne, à partir de cette moyenne on calcule un écart-type. On en déduit une "précision" sur le résultat du sondage, calculée à partir de la statistique effectuée. Où se trouve l'estimation ?

Si on fait le même type de statistique avec un dé, même si on tire un nombre limité de coût, on connait la moyenne vraie, on peut calculer l'écart-type, où se trouve l'estimation ?

Intervalle de confiance ...

Je vous invite à lire ceci :  https://fr.wikipedia.org/wiki/Intervalle_de_confiance#Loi_normale
C'est l'intervalle de confiance utilisé pour encadrer une "valeur vraie" (ie espérance)

Pour un intervalle de confiance théorique de l'espérance d'un loi normale,
on sait que l'on doit prendre [ X^ - k. s /n^0.5  ; X^ + k. s /n^0.5 ]  où
X^ est la moyenne statistiquement observée ,
s l'écart-type de la loi normale et
k dépend du niveau de confiance que l'on désire ( k=1 pour 68% , k=1.96 pour 95% classiquement, etc.)

En général, on ne connait pas cet écart-type s de loi normale, donc on prend l'estimateur sur l"échantillon /(n-1), que je note S.
Et on obtient alors l'intervalle [ X^ - k. S /n^0.5  ; X^ + k. S /n^0.5 ] dont vous parlez ci-dessus.

Bonsoir,
J'ai un eu de mal à comprendre ce que signifie "écart-type d'une loi de probabilité".
Une loi de probabilité est la façon dont les différents résultat d'un expérience produisent des résultats numériques, que ces valeurs soit des nombres entier, variables discrète ou des nombres réels, variable continue.
Prenons un exemple simple une statistique concernant les arbres d'une forêt.
On peut choisir de dénombrer les essences d'arbres, c'est à dire qu'on va compter le nombre de peupliers, de chênes, d'érables, d'acacias, de bouleaux, de saules etc. Là, il s'agit d'une variable discrète. Si on choisi intelligemment la zone ou les zones étudiées dans cette forêt domaniale de plusieurs centaine d’hectare on obtiendra des valeurs pour chaque essence, et si on a pris soin de travailler sur plusieurs zones on aura une statistique, ce qui permettra de calculer une moyenne et par conséquent un écart-type, pour chaque essence. Le calcul à effectuer ne nécessitent pas d'interprétation, il ne s'agit donc pas d'estimation. On pourra parler d'estimation où plutôt d'approximation, lorsqu'on dira le résultat concernant la totalité de la forêt.
Quelle est la loi de probabilité ? la théorie des probabilité nous donne la réponse. Le calcul de l'écart-type intéresse les forestiers pour vérifier la qualité de leurs estimations.

Maintenant on cherche à savoir, quelle que soit l'essence, de connaitre le diamètre des arbres à 1.10 du sol. On mesure un certain nombre d'arbres, ah hasard dans la forêt et on obtient une série statistique d'où on peut tirer une moyenne et un écart-type. La théorie des probabilité nous donne la loi mise en œuvre.

Dans aucune de ces deux expériences l'écart-type ne dépend de la loi de probabilité. dans ces deux cas, on dispose d'une série statistique d'où on tire une moyenne et un écart-type. Le forestier et son calculateur se fichent de la loi mise en œuvre, ils calculent une moyenne et un écart-type.

Donc, ma question : que signifie "écart-type d'une loi de probabilité".
J'ai lu les articles de Wikipédia qui évoquent ce calcul, simplement, je demande à comprendre et à quoi cela sert-il ?

Dlzlogic a écrit:
Donc, ma question : que signifie "écart-type d'une loi de probabilité".
J'ai lu les articles de Wikipédia qui évoquent ce calcul, simplement, je demande à comprendre et à quoi cela sert-il ? 

L'écart type, comme l'espérance, et d'autres notions encore, sont des caractéristiques des lois de probabilité.
Ces lois de probabilités permettent de justifier des théorèmes et des formules où apparaissent leurs caractéristiques (espérance, écart-type, etc).
Et ensuite, ces formules (et théorèmes) sont appliquées par les utilisateurs (forestiers, géomètres, etc).

Sans théorie, il n'y aurait, aucune formule à calculer !
Les formules ne tombent pas des arbres...

@ Parlons
Réf : ton message de 23H41.
Bien-sûr, je connais tout cela très bien. Je pose la question un cran plus haut : comment sait-on que c'est la loi normale qui s'applique et que 68% des valeurs de la série ont un écart à la moyenne inférieur à l'écart-type ? D'ailleurs, puisque la formule de l'écart-type dépend de la moyenne, laquelle résulte d'une opération arithmétiques, en quoi cet écart type serait estimé ?

Dlzlogic a écrit:Bien-sûr, je connais tout cela très bien.

alors pourquoi poser des questions naïves sur le sujet ???

Dlzlogic a écrit: comment sait-on que c'est la loi normale

car la situation le dit (le TCL par exemple, ou autre).

que 68% des valeurs de la série ont un écart à la moyenne inférieur à l'écart-type ?

Je n'ai pas dit cela.

Là, vous parlez d'autre chose : les valeurs de la série qui suivent une loi normale, c'est à dire des intervalles de fluctuation.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Intervalle_de_fluctuation

Je parle du niveau d'un intervalle de confiance, ce n'est pas la même chose, même si les nombres se ressemblent beaucoup.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Intervalle_de_confiance

Oui, il y a de la subtilité dans la théorie. Comme je vous l'ai dit, cela ne s'improvise pas ! Les étudiants ont du travail sur la planche...

en quoi cet écart type serait estimé ?  

J'ai tenté de l'expliqué en quelques lignes au-dessus. Prenez un cours de math pour davantage d'explications...

Bon demain je ferai les modifs pour me permettre d'appliquer la règle du jeu de ce sous forum : des réponses claires.
"alors pourquoi poser des questions naïves sur le sujet ???" parce que un bon moyen de te le faire comprendre est de te le faire écrire.

Parlons a écrit: "que 68% des valeurs de la série ont un écart à la moyenne inférieur à l'écart-type ?"

Je n'ai pas dit cela.

Pourtant, c'est le cours de niveau lycée et l'article de Wikipédia est très clair.

Me faire comprendre quoi ?
Que vous ne comprenez pas les réponses qu'on vous donne, puisque vous reposez toujours les mêmes questions ?
Que vous venez de montrer que vous confondez intervalle de confiance et intervalle de fluctuation ?

Dlzlogic a écrit:
Pourtant, c'est le cours de niveau lycée et l'article de Wikipédia est très clair.

du niveau lycée...
Je vous invite à relire les deux articles que j'ai cités de Wikipédia qui vous montrent  que ce n'est pas la même chose !
Mais je sais que vous allez continuer sur votre rocher...

Là, vous parlez d'autre chose : les valeurs de la série qui suivent une loi normale, c'est à dire des intervalles de fluctuation.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Intervalle_de_fluctuation

Je parle du niveau d'un intervalle de confiance, ce n'est pas la même chose, même si les nombres se ressemblent beaucoup.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Intervalle_de_confiance

Pour illustrer le propos de Parlons sur la différence intervalle de fluctuation versus intervalle de confiance:
https://www.youtube.com/watch?v=97vzxWsyie8

Bonjour,
Il est indispensable de respecter strictement la règle du jeu, en particulier, pas de référence externe.
L'écart-type de la loi exponentielle est égal à 1/lambda.
L'intervalle de confiance ou de fluctation, comme on veut, est égal à +/- 2 écart-type.
L'espérance, très proche de la moyenne arithmétique des observations, est égal à 1/lambda.
Il n'y aurait pas comme un petit problème ?

Bonjour,

Dlzlogic a écrit:Il est indispensable de respecter strictement la règle du jeu, en particulier, pas de référence externe.

il faut réinventer la roue à chaque discussion ? Je suis désolé, mais les documents sont parfaitement utiles pour travailler et comprendre. Sans document, nous serions à l'âge de pierre !

L'écart-type de la loi exponentielle est égal à 1/lambda.

oui et l'espérance aussi : 1/lambda.
C'est une particularité de la loi exponentielle.

Tout comme la particularité de loi normale d'avoir une espérance égale à son mode (et à sa médiane aussi...)

L'intervalle de confiance ou de fluctation, comme on veut, est égal à +/- 2 écart-type.

Pas comme on veut , les maths ce n'est pas comme on veut.
Et le +/- 2 écart-types , ça vient de la loi normale, pas de la loi exponentielle.

Les intervalles de fluctuation et les intervalles de confiance pour la loi exponentielle ne sont pas ceux de la loi normale.

Concernant la règle du jeu, si tu veux pas la respecter, alors ne joue pas.

Parlons a écrit:Les intervalles de fluctuation et les intervalles de confiance pour la loi exponentielle ne sont pas ceux de la loi normale.

On en revient donc à la question de base : à quoi sert le calcul de l'écart-type, dans le cas de la loi exponentielle, dans le présent cas ?

Il me semble que j'ai posé une question et que je n'ai pas eu de réponse : sauf si c'est marqué dans l'énoncé, comment sait-on de quelle loi il s'agit ?

Dlzlogic a écrit:Concernant la règle du jeu, si tu veux pas la respecter, alors ne joue pas.

Les réponses n'en seront que plus simples.
C'est simplement une règle du jeu quand on ne sait/veut pas lire les documents.
Apprendre sans lire des documents où tous les détails sont donnés, c'est compliqué en maths.

à quoi sert le calcul de l'écart-type, dans le cas de la loi exponentielle, dans le présent cas ?

On l'a déjà dit : l'écart-type est l'une des caractéristiques des lois de probabilité.

Pour un rectangle, on calcule la longueur et la largeur. Ce sont des caractéristiques des rectangles.
Pour un carré, la longueur = la largeur.
Alors  à quoi sert le calcul de la largeur dans le cas d'un carré ?

Il me semble que j'ai posé une question et que je n'ai pas eu de réponse : sauf si c'est marqué dans l'énoncé, comment sait-on de quelle loi il s'agit ?

une réponse a déjà été apportée.
C'est la situation qui le dit :
une expérience menée avec un protocole précis,
ou un théorème genre TCL,
ou une simple hypothèse d'un exercice,
ou un modèle suite à une étude statistique,
etc.

Bonsoir,
J'ai lu l'article de Wikipédia sur l'intervalle de confiance.
Ce qui est intéressant, c'est la page "discussion". Là, ça fait plaisir, on rencontre d'autres hérétiques.

Je vais tenter de donner une réponse à ma question d'origine. Bien-sûr j'aurais aimé qu'il y en aient d'autres qui apportent quelque-chose de positif.
Quand on fait une mesure, quelle qu'elle soit on se fiche éperdument de l'écart type, sauf si c'est justement la réponse attendue par l'énoncé de l'exercice.
L'écart-type n'est qu'une unité de mesure sur la courbe de Gauss. Il a quelques propriétés intéressantes, par exemple, c'est l'abscisse du point d'inflexion.
Cette unité de mesure n'est qu'une unité, c'est à dire que indépendamment d'autres informations, elle ne présente aucun intérêt.
Dans de nombreux cas de fabrication, de mesure, plusieurs éléments entrent en ligne de compte. L'un des buts est de connaitre le résultat et aussi la précision. Cette précision dépend naturellement de l'intervalle de confiance et par conséquent utilise l'écart-type. Mais comme il y a plusieurs éléments en ligne de compte, il y a plusieurs écarts-types à combiner. C'est l'utilisé que je connais du calcul de l'écart-type.
Pour apprécier la qualité d'une série d'observations ou mesures, on peut utiliser d'autres unités. Notons, l'écart arithmétique et l'écart probables. Il y a évidemment des relations précises entre ces différentes unités.

On a évoqué quelquefois le calcul de l'intervalle de confiance sur l'écart-type. Sauf pour les amateurs de calculs numériques, cela est sans objet en vertu du principe que on peut et on doit négligé les infiniment petits de second ordre. C'est ainsi que à part la différence de vocable (de terme) il est sans objet de distinguer l'intervalle de fluctuation de l'intervalle de confiance. (Je saute volontairement l'intérêt de compliquer les choses pour le plaisir).

Bonsoir
je me demande pourquoi vous posez des questions à vos interlocuteurs puisque vous avez décidé de ne jamais essayer de comprendre leurs réponses. Vous campez sur votre grosse pierre, pardon sur vos idées, qui sont souvent mathématiquement fausses, tant pis.
Mais comme vous dites, la théorie.. le praticien n'a rien à en faire ! ( ce qui est évidemment une énorme bêtise : un bon praticien doit connaître un minimum de théorie sur ce qu'il fait, évidemment)

Dlzlogic a écrit:

on se fiche éperdument de l'écart type,
elle ne présente aucun intérêt.
cela est sans objet
Il est sans objet de distinguer l'intervalle de fluctuation de l'intervalle de confiance
vous ne dites que des choses positives en effet et finalement vous négligez complètement la théorie, c'est parfait !

Cela confirme que vous ne cherchez pas à connaître les mathématiques. Vous cherchez juste à dire que ce que vous ne connaissez pas n'a aucun intérêt. C'est d'ailleurs pour ça que vous avez instauré la règle du jeu "aucune référence externe", histoire qu'on ne vous montre pas qu'il y a tout un monde au-delà de votre grosse pierre. Votre comportement est finalement parfaitement cohérent, mais totalement anti scientifique.